三角形ABCにおいて、$a=8, b=7, c=5$とする。辺BCの中点をMとするとき、以下のものを求める。 (1) 角Bの値 (2) 線分AMの長さ

1. 問題の内容

三角形ABCにおいて、$a=8, b=7, c=5$とする。辺BCの中点をMとするとき、以下のものを求める。

(1) 角Bの値

(2) 線分AMの長さ

2. 解き方の手順

(1) 角Bの値を求める。余弦定理を用いる。

余弦定理より、

$\cos B = \frac{a^2 + c^2 - b^2}{2ac}$

与えられた値を代入すると、

$\cos B = \frac{8^2 + 5^2 - 7^2}{2 \cdot 8 \cdot 5} = \frac{64 + 25 - 49}{80} = \frac{40}{80} = \frac{1}{2}$

よって、$B = 60^{\circ}$

(2) 線分AMの長さを求める。中線定理(パップスの定理)を用いる。

中線定理より、

$AB^2 + AC^2 = 2(AM^2 + BM^2)$

与えられた値を代入すると、$c^2 + b^2 = 2(AM^2 + (a/2)^2)$だから、

$5^2 + 7^2 = 2(AM^2 + 4^2)$

$25 + 49 = 2(AM^2 + 16)$

$74 = 2AM^2 + 32$

$2AM^2 = 42$

$AM^2 = 21$

よって、$AM = \sqrt{21}$

3. 最終的な答え

(1) $B = 60^{\circ}$

(2) $AM = \sqrt{21}$