曲線 $C: \begin{cases} x = t - \sin t \\ y = 1 - \cos t \end{cases} (0 \le t \le 2\pi)$ と $x$ 軸で囲まれた部分を、$x$ 軸のまわりに1回転してできる回転体の体積 $V$ を求める問題です。途中の積分計算の空欄を埋める必要があります。

1. 問題の内容

曲線 $C: \begin{cases} x = t - \sin t \\ y = 1 - \cos t \end{cases} (0 \le t \le 2\pi)$ と $x$ 軸で囲まれた部分を、$x$ 軸のまわりに1回転してできる回転体の体積 $V$ を求める問題です。途中の積分計算の空欄を埋める必要があります。

2. 解き方の手順

まず、回転体の体積の公式から $V = \pi \int_0^{2\pi} y^2 dx$ が与えられています。

次に、パラメータ表示された曲線であるため、$dx$ を $dt$ で表す必要があります。

$x = t - \sin t$ より、$dx = (1 - \cos t) dt$ となります。

また、$y = 1 - \cos t$ であるので、$y^2 = (1 - \cos t)^2$ です。

これらを代入すると、$V = \pi \int_0^{2\pi} (1 - \cos t)^2 (1 - \cos t) dt = \pi \int_0^{2\pi} (1 - \cos t)^3 dt$ となります。

したがって、空欄1には $1 - \cos t$ が入ります。

次に、$(1 - \cos t)^3$ を展開します。

$(1 - \cos t)^3 = 1 - 3\cos t + 3\cos^2 t - \cos^3 t$ となります。

したがって、$V = \pi \int_0^{2\pi} (1 - 3\cos t + 3\cos^2 t - \cos^3 t) dt$ となります。

よって、空欄2には3、空欄3には3が入ります。

最後に、積分を計算します。

$\int_0^{2\pi} 1 dt = 2\pi$

$\int_0^{2\pi} \cos t dt = 0$

$\int_0^{2\pi} \cos^2 t dt = \int_0^{2\pi} \frac{1 + \cos 2t}{2} dt = \left[ \frac{t}{2} + \frac{\sin 2t}{4} \right]_0^{2\pi} = \pi$

$\int_0^{2\pi} \cos^3 t dt = \int_0^{2\pi} \cos t (1 - \sin^2 t) dt = \int_0^{2\pi} \cos t dt - \int_0^{2\pi} \cos t \sin^2 t dt = 0 - \left[ \frac{\sin^3 t}{3} \right]_0^{2\pi} = 0$

したがって、$V = \pi \int_0^{2\pi} (1 - 3\cos t + 3\cos^2 t - \cos^3 t) dt = \pi (2\pi - 0 + 3\pi - 0) = 5\pi^2$ となります。

よって、空欄4には5が入ります。

3. 最終的な答え

空欄1: $1 - \cos t$

空欄2: 3

空欄3: 3

空欄4: 5

$V = 5\pi^2$