与えられた式 $(\sin 20^\circ + \cos 20^\circ)^2 + (\sin 160^\circ + \cos 160^\circ)^2$ を計算し、値を求めます。

1. 問題の内容

与えられた式 $(\sin 20^\circ + \cos 20^\circ)^2 + (\sin 160^\circ + \cos 160^\circ)^2$ を計算し、値を求めます。

2. 解き方の手順

まず、それぞれの項を展開します。

$(\sin 20^\circ + \cos 20^\circ)^2 = \sin^2 20^\circ + 2 \sin 20^\circ \cos 20^\circ + \cos^2 20^\circ$

$(\sin 160^\circ + \cos 160^\circ)^2 = \sin^2 160^\circ + 2 \sin 160^\circ \cos 160^\circ + \cos^2 160^\circ$

三角関数の性質を利用して、式を簡略化します。

$\sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1$ であるため、

$\sin^2 20^\circ + \cos^2 20^\circ = 1$

$\sin^2 160^\circ + \cos^2 160^\circ = 1$

また、$2 \sin \theta \cos \theta = \sin 2\theta$ であるため、

$2 \sin 20^\circ \cos 20^\circ = \sin 40^\circ$

$2 \sin 160^\circ \cos 160^\circ = \sin 320^\circ$

したがって、

$(\sin 20^\circ + \cos 20^\circ)^2 = 1 + \sin 40^\circ$

$(\sin 160^\circ + \cos 160^\circ)^2 = 1 + \sin 320^\circ$

$\sin 320^\circ = \sin (360^\circ - 40^\circ) = -\sin 40^\circ$ であるため、

$(\sin 160^\circ + \cos 160^\circ)^2 = 1 - \sin 40^\circ$

与えられた式は、

$(1 + \sin 40^\circ) + (1 - \sin 40^\circ) = 1 + \sin 40^\circ + 1 - \sin 40^\circ = 2$

3. 最終的な答え

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