(1) $\sin 105^\circ + \sin 15^\circ$ の値を求めよ。 (2) $\tan \theta = -2$ であるとき、$\sin \theta$, $\sin 2\theta$, $\cos 4\theta$ の値をそれぞれ求めよ。ただし、$\frac{\pi}{2} < \theta < \pi$ とする。

1. 問題の内容

(1) $\sin 105^\circ + \sin 15^\circ$ の値を求めよ。

(2) $\tan \theta = -2$ であるとき、$\sin \theta$, $\sin 2\theta$, $\cos 4\theta$ の値をそれぞれ求めよ。ただし、$\frac{\pi}{2} < \theta < \pi$ とする。

2. 解き方の手順

(1) 加法定理を用いて $\sin 105^\circ$ と $\sin 15^\circ$ を計算し、それらを足し合わせる。

$\sin 105^\circ = \sin (60^\circ + 45^\circ) = \sin 60^\circ \cos 45^\circ + \cos 60^\circ \sin 45^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}$

$\sin 15^\circ = \sin (45^\circ - 30^\circ) = \sin 45^\circ \cos 30^\circ - \cos 45^\circ \sin 30^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}$

よって、$\sin 105^\circ + \sin 15^\circ = \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4} + \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4} = \frac{2\sqrt{6}}{4} = \frac{\sqrt{6}}{2}$

また、和積の公式 $\sin x + \sin y = 2 \sin \frac{x+y}{2} \cos \frac{x-y}{2}$ を用いると、

$\sin 105^\circ + \sin 15^\circ = 2 \sin \frac{105^\circ + 15^\circ}{2} \cos \frac{105^\circ - 15^\circ}{2} = 2 \sin 60^\circ \cos 45^\circ = 2 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{\sqrt{6}}{2}$

(2) $\tan \theta = -2$ かつ $\frac{\pi}{2} < \theta < \pi$ より、$\theta$ は第2象限の角である。

$\tan^2 \theta + 1 = \frac{1}{\cos^2 \theta}$ より、$\cos^2 \theta = \frac{1}{\tan^2 \theta + 1} = \frac{1}{(-2)^2 + 1} = \frac{1}{5}$

$\cos \theta = \pm \frac{1}{\sqrt{5}}$ であり、$\frac{\pi}{2} < \theta < \pi$ より $\cos \theta < 0$ であるから、$\cos \theta = - \frac{1}{\sqrt{5}}$

$\sin \theta = \tan \theta \cos \theta = (-2) \cdot (-\frac{1}{\sqrt{5}}) = \frac{2}{\sqrt{5}}$

$\sin 2\theta = 2 \sin \theta \cos \theta = 2 \cdot \frac{2}{\sqrt{5}} \cdot (-\frac{1}{\sqrt{5}}) = - \frac{4}{5}$

$\cos 2\theta = \cos^2 \theta - \sin^2 \theta = (-\frac{1}{\sqrt{5}})^2 - (\frac{2}{\sqrt{5}})^2 = \frac{1}{5} - \frac{4}{5} = - \frac{3}{5}$

$\cos 4\theta = 2 \cos^2 2\theta - 1 = 2 \cdot (-\frac{3}{5})^2 - 1 = 2 \cdot \frac{9}{25} - 1 = \frac{18}{25} - 1 = - \frac{7}{25}$

3. 最終的な答え

(1) $\frac{\sqrt{6}}{2}$

(2) $\sin \theta = \frac{2}{\sqrt{5}}$, $\sin 2\theta = -\frac{4}{5}$, $\cos 4\theta = -\frac{7}{25}$