一辺の長さが12cmの正方形ABCDがある。辺AB上に点E,Fがあり、AE=EF=FBである。辺DC上に点G,Hがあり、DG=(1/2)GH=HCである。EHとFGの交点をP、EHとBGの交点をQとする。 (1) EHの長さを求める。 (2) PQの長さを求める。 (3) 四角形PFBQの面積を求める。

1. 問題の内容

一辺の長さが12cmの正方形ABCDがある。辺AB上に点E,Fがあり、AE=EF=FBである。辺DC上に点G,Hがあり、DG=(1/2)GH=HCである。EHとFGの交点をP、EHとBGの交点をQとする。

(1) EHの長さを求める。

(2) PQの長さを求める。

(3) 四角形PFBQの面積を求める。

2. 解き方の手順

(1) EHの長さを求める。

EからDCに垂線を下ろし、その交点をIとする。

すると、EI = BC = 12cm。

また、AE = EF = FB より、AE = (1/3)AB = 4cm。

同様に、DG = (1/2)GH = HCより、HC = (1/4)DC = 3cm。

よって、IH = IC - HC = AE - HC = 12 - 3 = 9 cm。

三平方の定理より、

$EH^2 = EI^2 + IH^2 = 12^2 + 9^2 = 144 + 81 = 225$

$EH = \sqrt{225} = 15$cm

(2) PQの長さを求める。

PはEHとFGの交点、QはEHとBGの交点。

△AEIと△DGIにおいて、

$\angle AEI = \angle DGI = 90^{\circ}$

$\angle AIE = 0$

$\angle DEG = 0$

△EBIと△HBIにおいて、

$\angle EBI = \angle HBI = 90^{\circ}$

EHの方程式を求める。E(4,12), H(9,0)を通るので

$y-12 = \frac{0-12}{9-4} (x-4)$

$y-12 = -\frac{12}{5} (x-4)$

$y = -\frac{12}{5}x+\frac{48}{5} + 12 = -\frac{12}{5}x+\frac{108}{5}$

FGの方程式を求める。F(8,12), G(6,0)を通るので

$y-12 = \frac{0-12}{6-8}(x-8)$

$y-12 = 6(x-8)$

$y=6x-48+12=6x-36$

EHとFGの交点Pの座標を求める。

$-\frac{12}{5}x+\frac{108}{5}=6x-36$

$-12x+108 = 30x - 180$

$42x=288$

$x=\frac{288}{42} = \frac{48}{7}$

$y = 6\cdot\frac{48}{7}-36 = \frac{288-252}{7} = \frac{36}{7}$

$P(\frac{48}{7}, \frac{36}{7})$

BGの方程式を求める。B(12,12), G(6,0)を通るので

$y-12=\frac{0-12}{6-12}(x-12)$

$y-12=2(x-12)$

$y=2x-24+12=2x-12$

EHとBGの交点Qの座標を求める。

$-\frac{12}{5}x+\frac{108}{5} = 2x-12$

$-12x+108 = 10x-60$

$22x = 168$

$x=\frac{168}{22} = \frac{84}{11}$

$y=2\cdot\frac{84}{11}-12=\frac{168-132}{11}=\frac{36}{11}$

$Q(\frac{84}{11},\frac{36}{11})$

$PQ=\sqrt{(\frac{84}{11}-\frac{48}{7})^2+(\frac{36}{11}-\frac{36}{7})^2}=\sqrt{(\frac{588-528}{77})^2+(\frac{252-396}{77})^2}=\sqrt{(\frac{60}{77})^2+(\frac{-144}{77})^2} = \sqrt{\frac{3600+20736}{77^2}} = \sqrt{\frac{24336}{5929}} = \frac{\sqrt{24336}}{77} = \frac{12\sqrt{169}}{77} = \frac{12\cdot 13}{77} = \frac{156}{77}$

(3) 四角形PFBQの面積を求める。

四角形PFBQの面積 = △FBQの面積 + △PFBの面積

台形EFBQの面積 = （EF + BQ）× EB / 2

3. 最終的な答え

(1) EHの長さ：15cm

(2) PQの長さ：$\frac{156}{77}$cm

(3) 四角形PFBQの面積：計算できません。