確率変数 $X$ と $Y$ が互いに独立であるとき、$XY$ の期待値 $E(XY)$ を求めます。$X$ と $Y$ の確率分布は表で与えられています。

1. 問題の内容

確率変数 $X$ と $Y$ が互いに独立であるとき、$XY$ の期待値 $E(XY)$ を求めます。$X$ と $Y$ の確率分布は表で与えられています。

2. 解き方の手順

$X$ と $Y$ が独立であるとき、$E(XY) = E(X)E(Y)$ が成り立ちます。

まず、$E(X)$ を計算します。

$E(X) = 1 \cdot \frac{2}{9} + 2 \cdot \frac{5}{9} + 3 \cdot \frac{2}{9} = \frac{2}{9} + \frac{10}{9} + \frac{6}{9} = \frac{18}{9} = 2$

次に、$E(Y)$ を計算します。

$E(Y) = 0 \cdot \frac{1}{6} + 1 \cdot \frac{2}{6} + 2 \cdot \frac{2}{6} + 3 \cdot \frac{1}{6} = 0 + \frac{2}{6} + \frac{4}{6} + \frac{3}{6} = \frac{9}{6} = \frac{3}{2}$

最後に、$E(XY) = E(X)E(Y)$ を計算します。

$E(XY) = 2 \cdot \frac{3}{2} = 3$

3. 最終的な答え

$E(XY) = 3$