与えられた多項式 $ax^3 + x^2 - ax - 1$ を因数分解します。

わかりました。画像にある数学の問題のうち、問題 (3), (4), (5), (6) を解きます。

**問題(3): $ax^3 + x^2 - ax - 1$**

1. 問題の内容

与えられた多項式 $ax^3 + x^2 - ax - 1$ を因数分解します。

2. 解き方の手順

* 項をグループ化します。

$ax^3 - ax + x^2 - 1$

* 最初の2つの項から $ax$ を、最後の2つの項から $1$ をそれぞれくくり出します。

$ax(x^2 - 1) + (x^2 - 1)$

* 共通因数 $(x^2 - 1)$ でくくり出します。

$(ax + 1)(x^2 - 1)$

* $x^2 - 1$ を $(x - 1)(x + 1)$ と因数分解します。

$(ax + 1)(x - 1)(x + 1)$

3. 最終的な答え

$(ax + 1)(x - 1)(x + 1)$

**問題(4): $x^2 - (y - 5)x - 2y(y + 5)$**

1. 問題の内容

与えられた多項式 $x^2 - (y - 5)x - 2y(y + 5)$ を因数分解します。

2. 解き方の手順

* 定数項を展開します。

$x^2 - (y - 5)x - (2y^2 + 10y)$

* 因数分解しやすいように、定数項を $A \times B$ の形に表し、$A+B$ が $y-5$ になるような $A$ と $B$ を探します。

* $2y^2 + 10y = (2y)(y+5)$. $-2y + (y+5) = -y-5$. $-2y - (y+5) = -3y - 5$. $2y - (y+5) = y - 5$.

* よって、定数項は $-2y(y+5)$ で、$(x + 2y)(x - (y+5)) = x^2 - (y+5)x + 2yx -2y(y+5) = x^2 -(y-5)x -2y(y+5)$. したがって、因数分解できます。

$(x + 2y)(x - (y+5))$

3. 最終的な答え

$(x + 2y)(x - y - 5)$

**問題(5): $x^2 - xy - 6y^2 - 3x + 4y + 2$**

1. 問題の内容

与えられた多項式 $x^2 - xy - 6y^2 - 3x + 4y + 2$ を因数分解します。

2. 解き方の手順

* $x$ について整理します。

$x^2 + (-y - 3)x + (-6y^2 + 4y + 2)$

* 定数項 $-6y^2 + 4y + 2$ を因数分解します。

$-6y^2 + 4y + 2 = -2(3y^2 - 2y - 1) = -2(3y + 1)(y - 1)$

* 与式全体が $(x + A)(x + B)$ と因数分解できると仮定すると、$A + B = -y - 3$ かつ $AB = -2(3y + 1)(y - 1)$ となる必要があります。

* $x^2 - xy - 6y^2 - 3x + 4y + 2 = (x - 3y - 1)(x + 2y - 2)$.

3. 最終的な答え

$(x - 3y - 1)(x + 2y - 2)$

**問題(6): $4x^2 + (y-9)x - (y-2)(3y+1)$**

1. 問題の内容

与えられた多項式 $4x^2 + (y-9)x - (y-2)(3y+1)$ を因数分解します。

2. 解き方の手順

* $4x^2 + (y-9)x - (y-2)(3y+1) = (ax + b)(cx + d)$ と因数分解できると仮定します。このとき、$ac=4$, $ad + bc = y - 9$, $bd = -(y-2)(3y+1)$ となる必要があります。

* $(4x+3y+1)(x-y+2) = 4x^2 -4xy + 8x +3xy -3y^2 + 6y + x -y + 2 = 4x^2 - xy + 9x - 3y^2 + 5y + 2$.

* $(4x - (3y+1))(x + (y-2)) = 4x^2 + (4y - 8)x - (3y+1)x - (3y+1)(y-2) = 4x^2 + (y - 9)x - (3y^2 - 5y - 2) = 4x^2 + (y-9)x - (y-2)(3y+1)$.

3. 最終的な答え

$(4x + 3y + 1)(x - y + 2)$