3個のサイコロを同時に投げたとき、出る目の和が3の倍数になる確率を求めよ。

1. 問題の内容

3個のサイコロを同時に投げたとき、出る目の和が3の倍数になる確率を求めよ。

2. 解き方の手順

3つのサイコロの出目をそれぞれ $a$, $b$, $c$ とします。 各サイコロの出目は1から6なので、 $a, b, c \in \{1, 2, 3, 4, 5, 6\}$ です。

$a+b+c$ が3の倍数となる確率を求めます。

まず、サイコロの出目を3で割った余りを考えます。 余りは0, 1, 2のいずれかになります。

1から6の数字を3で割った余りは次のようになります。

- 余り0: 3, 6 (2個)

- 余り1: 1, 4 (2個)

- 余り2: 2, 5 (2個)

3つのサイコロの出目の和が3の倍数になるのは、次のいずれかの場合です。

- (余り0, 余り0, 余り0)

- (余り1, 余り1, 余り1)

- (余り2, 余り2, 余り2)

- (余り0, 余り1, 余り2) (この順番でなくても良い)

それぞれの確率を計算します。

- (余り0, 余り0, 余り0)となる確率は、$(\frac{2}{6})^3 = (\frac{1}{3})^3 = \frac{1}{27}$

- (余り1, 余り1, 余り1)となる確率は、$(\frac{2}{6})^3 = (\frac{1}{3})^3 = \frac{1}{27}$

- (余り2, 余り2, 余り2)となる確率は、$(\frac{2}{6})^3 = (\frac{1}{3})^3 = \frac{1}{27}$

- (余り0, 余り1, 余り2)となる確率は、$\frac{2}{6} \times \frac{2}{6} \times \frac{2}{6} = \frac{8}{216} = \frac{1}{27}$

ただし、この場合は順番が6通りあります。 (0,1,2), (0,2,1), (1,0,2), (1,2,0), (2,0,1), (2,1,0) なので、確率は $\frac{1}{27} \times 6 = \frac{6}{27} = \frac{2}{9}$

したがって、求める確率は

$\frac{1}{27} + \frac{1}{27} + \frac{1}{27} + \frac{6}{27} = \frac{9}{27} = \frac{1}{3}$

全事象の数は $6^3 = 216$ です。

3つのサイコロの目の和が3の倍数になる組み合わせの数を数えます。

上の議論より、$2 \times 2 \times 2 = 8$ でないのは余りの組み合わせ(0,1,2) の時だけ。

３つの数字の余りが(0,0,0)となる場合は$2^3 = 8$通り

３つの数字の余りが(1,1,1)となる場合は$2^3 = 8$通り

３つの数字の余りが(2,2,2)となる場合は$2^3 = 8$通り

３つの数字の余りが(0,1,2)となる場合は$2 \times 2 \times 2 \times 3! = 8 \times 6=48$通り

従って、目の和が3の倍数になる組み合わせは $8+8+8+48 = 72$通り。

確率は $\frac{72}{216} = \frac{1}{3}$

3. 最終的な答え

$\frac{1}{3}$