ある時点0の日の株価を $s_0$ とし、$s_0 = 14000$ のとき、以下の問いに答えます。 1. 1日後の株価 $S_1$ を $s_0$ と $X_1$ を用いて表現してください。

1. 問題の内容

ある時点0の日の株価を $s_0$ とし、$s_0 = 14000$ のとき、以下の問いに答えます。

1. 1日後の株価 $S_1$ を $s_0$ と $X_1$ を用いて表現してください。

2. 2日後の株価 $S_2$ を $s_0$ と $X_1$ と $X_2$ を用いて表現してください。

3. $h$ 日後の株価 $S_h$ を $s_0$ と $\{X_t\}_{t=1}^h$ を用いて表現してください。

4. 変化量 $X_t$ が $X_t \sim N(-10, 220^2)$ という確率変数であるとき、$S_h$ はどのような分布に従いますか（$X_t$ は異なる時点で互いに独立であるとする）。

5. 20日後に現在よりも5%以上株価が下がっている確率はいくらですか。

6. 20日後に現在の水準に対して、±2.5%以内に収まっている確率はいくらですか。

2. 解き方の手順

1. 1日後の株価 $S_1$ は、初期株価 $s_0$ に1日目の変化量 $X_1$ を加えたものなので、$S_1 = s_0 + X_1$ となります。

2. 2日後の株価 $S_2$ は、初期株価 $s_0$ に1日目の変化量 $X_1$ と2日目の変化量 $X_2$ を加えたものなので、$S_2 = s_0 + X_1 + X_2$ となります。

3. $h$ 日後の株価 $S_h$ は、初期株価 $s_0$ に1日から $h$ 日目までの変化量 $X_t$ を全て加えたものなので、$S_h = s_0 + \sum_{t=1}^h X_t$ となります。

4. $X_t \sim N(-10, 220^2)$ であり、$X_t$ は互いに独立であるため、$\sum_{t=1}^h X_t$ は正規分布に従います。

平均は $\sum_{t=1}^h E[X_t] = \sum_{t=1}^h (-10) = -10h$ となり、分散は $\sum_{t=1}^h Var[X_t] = \sum_{t=1}^h 220^2 = h \cdot 220^2$ となります。

したがって、$S_h = s_0 + \sum_{t=1}^h X_t$ は、平均 $s_0 - 10h$ 、分散 $h \cdot 220^2$ の正規分布に従います。

つまり、$S_h \sim N(s_0 - 10h, h \cdot 220^2)$ です。

5. 20日後の株価 $S_{20}$ が現在よりも5%以上下がるということは、$S_{20} < 0.95s_0$ となることです。

$S_{20} \sim N(s_0 - 10 \cdot 20, 20 \cdot 220^2)$ なので、$S_{20} \sim N(14000 - 200, 20 \cdot 220^2)$ すなわち $S_{20} \sim N(13800, 968000)$ です。

$P(S_{20} < 0.95s_0) = P(S_{20} < 0.95 \cdot 14000) = P(S_{20} < 13300)$ を計算します。

$Z = \frac{S_{20} - 13800}{\sqrt{968000}} = \frac{13300 - 13800}{\sqrt{968000}} = \frac{-500}{\sqrt{968000}} \approx -0.508$

標準正規分布表から $P(Z < -0.508) \approx 0.305$.

したがって、20日後に現在よりも5%以上株価が下がっている確率は約30.5%です。

6. 20日後に現在の水準に対して±2.5%以内に収まっているということは、$0.975s_0 < S_{20} < 1.025s_0$ となることです。

$0.975 \cdot 14000 < S_{20} < 1.025 \cdot 14000$ なので、$13650 < S_{20} < 14350$ です。

$P(13650 < S_{20} < 14350) = P(\frac{13650 - 13800}{\sqrt{968000}} < Z < \frac{14350 - 13800}{\sqrt{968000}}) = P(\frac{-150}{\sqrt{968000}} < Z < \frac{550}{\sqrt{968000}})$

$P(-0.153 < Z < 0.559)$ を計算します。

$P(Z < 0.559) - P(Z < -0.153) \approx 0.712 - 0.439 = 0.273$.

したがって、20日後に現在の水準に対して±2.5%以内に収まっている確率は約27.3%です。

3. 最終的な答え

1. $S_1 = s_0 + X_1$

2. $S_2 = s_0 + X_1 + X_2$

3. $S_h = s_0 + \sum_{t=1}^h X_t$

4. $S_h \sim N(s_0 - 10h, h \cdot 220^2)$

5. 約30.5%

6. 約27.3%