1枚の硬貨を5回投げる。少なくとも1回表が出たことがわかっているとき、1回目に表が出た確率を求める。

1. 問題の内容

1枚の硬貨を5回投げる。少なくとも1回表が出たことがわかっているとき、1回目に表が出た確率を求める。

2. 解き方の手順

この問題は条件付き確率の問題です。

事象A: 「1回目に表が出る」

事象B: 「少なくとも1回表が出る」

求める確率は $P(A|B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)}$ です。

まず、$P(B)$ を求めます。

$P(B)$ は「少なくとも1回表が出る」確率なので、「すべて裏が出る」確率を1から引けば求められます。

「すべて裏が出る」確率は、$(\frac{1}{2})^5 = \frac{1}{32}$ です。

よって、$P(B) = 1 - \frac{1}{32} = \frac{31}{32}$ です。

次に、$P(A \cap B)$ を求めます。

$A \cap B$ は「1回目に表が出て、かつ、少なくとも1回表が出る」という事象です。

「1回目に表が出る」ならば、必ず「少なくとも1回表が出る」ので、$A \cap B$ は単に「1回目に表が出る」という事象Aと同じになります。

よって、$P(A \cap B) = P(A) = \frac{1}{2}$ です。

したがって、求める条件付き確率 $P(A|B)$ は、

$P(A|B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)} = \frac{P(A)}{P(B)} = \frac{\frac{1}{2}}{\frac{31}{32}} = \frac{1}{2} \cdot \frac{32}{31} = \frac{16}{31}$ となります。

3. 最終的な答え

$\frac{16}{31}$