数列 $1, 1, 3, 1, 3, 5, 1, 3, 5, 7, 1, 3, \dots$ について、以下の問いに答えます。 (1) 9回目に現れる5は何項目であるか。 (2) 初項から7回目の3までの項の和を求める。

はい、承知いたしました。

1. 問題の内容

数列 $1, 1, 3, 1, 3, 5, 1, 3, 5, 7, 1, 3, \dots$ について、以下の問いに答えます。

(1) 9回目に現れる5は何項目であるか。

(2) 初項から7回目の3までの項の和を求める。

2. 解き方の手順

(1) 数列を観察すると、1, 1,3, 1,3,5, 1,3,5,7, ... となっている。

数列中の5に注目すると、3項目に5が現れる毎に、次の5が現れるまでの項数は2ずつ増加している。

つまり、1項目に最初の5が現れ、次は3項目、次は5項目...となる。

したがって、$n$ 番目に現れる5は $1 + 2(n-1)$ 項目である。

9回目に現れる5の項数を求めたいので、$n = 9$ を代入すると、

$1 + 2(9-1) = 1 + 2(8) = 1 + 16 = 17$ 項目である。

(2) 数列は $1, 1, 3, 1, 3, 5, 1, 3, 5, 7, 1, 3, ...$ である。

3が現れるのは、3項目、5項目、8項目、12項目、...である。

数列の中で、7番目に3が現れるまでに、3が現れるのは次の通り：

$1, 1, 3, 1, 3, 5, 1, 3, 5, 7, 1, 3$

7番目の3は12項目に来るので、初項から12項目までの数列は $1, 1, 3, 1, 3, 5, 1, 3, 5, 7, 1, 3$ である。

7番目の3までの項の和を求めたいので、初項から数列を足すと、

$1 + 1 + 3 + 1 + 3 + 5 + 1 + 3 + 5 + 7 + 1 + 3 = 34$ となる。

3. 最終的な答え

(1) 17

(2) 34