正の数列 $\{a_n\}$ が、$a_1 = 3$, $a_{n+1} = \sqrt{a_n + 7} - 1$ ($n=1, 2, 3, \dots$) で定義されるとき、極限 $\lim_{n \to \infty} a_n$ を求める問題です。

1. 問題の内容

正の数列 $\{a_n\}$ が、$a_1 = 3$, $a_{n+1} = \sqrt{a_n + 7} - 1$ ($n=1, 2, 3, \dots$) で定義されるとき、極限 $\lim_{n \to \infty} a_n$ を求める問題です。

2. 解き方の手順

(1) 極限が存在すると仮定して、その値を求める：

もし $\lim_{n \to \infty} a_n = \alpha$ が存在すると仮定すると、$\lim_{n \to \infty} a_{n+1} = \alpha$ も成立します。したがって、漸化式 $a_{n+1} = \sqrt{a_n + 7} - 1$ で $n \to \infty$ とすると、

$\alpha = \sqrt{\alpha + 7} - 1$

$\alpha + 1 = \sqrt{\alpha + 7}$

両辺を2乗すると、

$(\alpha + 1)^2 = \alpha + 7$

$\alpha^2 + 2\alpha + 1 = \alpha + 7$

$\alpha^2 + \alpha - 6 = 0$

$(\alpha + 3)(\alpha - 2) = 0$

$\alpha = -3, 2$

数列は正なので、極限値は$\alpha = 2$ であると予想できます。

(2) 数列 $\{a_n\}$ が単調減少であることを示す：

$a_1 = 3$

$a_2 = \sqrt{3+7} - 1 = \sqrt{10} - 1 \approx 3.16 - 1 = 2.16$

$a_3 = \sqrt{a_2 + 7} - 1 = \sqrt{\sqrt{10} - 1 + 7} - 1 = \sqrt{\sqrt{10} + 6} - 1 \approx \sqrt{3.16 + 6} - 1 = \sqrt{9.16}-1 \approx 3.02-1 = 2.02$

$a_1 > a_2 > a_3 > 2$ のように見えます。

数学的帰納法で $a_n > 2$ を示す。

$n=1$ のとき、$a_1=3>2$ なので成立する。

$n=k$ のとき、$a_k > 2$ と仮定する。

$a_{k+1} = \sqrt{a_k+7}-1 > \sqrt{2+7}-1 = \sqrt{9}-1 = 3-1 = 2$

よって$a_n > 2$が示された。

次に $a_{n+1} < a_n$ を示す。

$a_{n+1} - a_n = \sqrt{a_n+7} - 1 - a_n$

$a_{n+1} - a_n < 0$ を示す。

$\sqrt{a_n+7} - 1 - a_n < 0$

$\sqrt{a_n+7} < a_n+1$

$a_n+7 < (a_n+1)^2$

$a_n+7 < a_n^2+2a_n+1$

$0 < a_n^2+a_n-6$

$0 < (a_n+3)(a_n-2)$

$a_n > 2$ より $(a_n+3)(a_n-2)$ は正なので、$a_{n+1} < a_n$

したがって、数列$\{a_n\}$ は単調減少数列である。

(3) 極限の存在を示す：

数列$\{a_n\}$ は下に有界 ($a_n > 2$) であり、単調減少であるため、極限が存在する。

3. 最終的な答え

$\lim_{n \to \infty} a_n = 2$