円に内接する四角形ABCDにおいて、$AB=3$, $BC=CD=5$, $\angle B=120^\circ$のとき、以下のものを求める。 (1) ACの長さ (2) ADの長さ (3) 四角形ABCDの面積

1. 問題の内容

円に内接する四角形ABCDにおいて、$AB=3$, $BC=CD=5$, $\angle B=120^\circ$のとき、以下のものを求める。

(1) ACの長さ

(2) ADの長さ

(3) 四角形ABCDの面積

2. 解き方の手順

(1) ACの長さを求める。

余弦定理より、

$AC^2 = AB^2 + BC^2 - 2 \cdot AB \cdot BC \cdot \cos B$

$AC^2 = 3^2 + 5^2 - 2 \cdot 3 \cdot 5 \cdot \cos 120^\circ$

$AC^2 = 9 + 25 - 30 \cdot (-\frac{1}{2})$

$AC^2 = 34 + 15 = 49$

$AC = \sqrt{49} = 7$

(2) ADの長さを求める。

四角形ABCDは円に内接するので、$\angle D = 180^\circ - \angle B = 180^\circ - 120^\circ = 60^\circ$

三角形ACDにおいて、余弦定理より

$AC^2 = AD^2 + CD^2 - 2 \cdot AD \cdot CD \cdot \cos D$

$7^2 = AD^2 + 5^2 - 2 \cdot AD \cdot 5 \cdot \cos 60^\circ$

$49 = AD^2 + 25 - 10 \cdot AD \cdot \frac{1}{2}$

$49 = AD^2 + 25 - 5AD$

$AD^2 - 5AD - 24 = 0$

$(AD - 8)(AD + 3) = 0$

$AD = 8, -3$

$AD > 0$なので、$AD = 8$

(3) 四角形ABCDの面積を求める。

四角形ABCDの面積は、三角形ABCの面積と三角形ACDの面積の和である。

$S_{ABC} = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot BC \cdot \sin B = \frac{1}{2} \cdot 3 \cdot 5 \cdot \sin 120^\circ = \frac{1}{2} \cdot 15 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{15\sqrt{3}}{4}$

$S_{ACD} = \frac{1}{2} \cdot AD \cdot CD \cdot \sin D = \frac{1}{2} \cdot 8 \cdot 5 \cdot \sin 60^\circ = \frac{1}{2} \cdot 40 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 10\sqrt{3}$

$S_{ABCD} = S_{ABC} + S_{ACD} = \frac{15\sqrt{3}}{4} + 10\sqrt{3} = \frac{15\sqrt{3} + 40\sqrt{3}}{4} = \frac{55\sqrt{3}}{4}$

3. 最終的な答え

(1) ACの長さ: 7

(2) ADの長さ: 8

(3) 四角形ABCDの面積: $\frac{55\sqrt{3}}{4}$