平行四辺形ABCDにおいて、$AB=5$, $BC=3$, $AC=7$である。 (1) 角Bの大きさを求めよ。 (2) 対角線BDの長さを求めよ。

1. 問題の内容

平行四辺形ABCDにおいて、$AB=5$, $BC=3$, $AC=7$である。

(1) 角Bの大きさを求めよ。

(2) 対角線BDの長さを求めよ。

2. 解き方の手順

(1) 角Bの大きさを求める。

$\triangle ABC$において、余弦定理を用いると、

$AC^2 = AB^2 + BC^2 - 2AB\cdot BC \cdot \cos B$

$7^2 = 5^2 + 3^2 - 2\cdot 5 \cdot 3 \cdot \cos B$

$49 = 25 + 9 - 30\cos B$

$49 = 34 - 30\cos B$

$30\cos B = 34 - 49$

$30\cos B = -15$

$\cos B = -\frac{15}{30}$

$\cos B = -\frac{1}{2}$

$B = 120^\circ$

(2) 対角線BDの長さを求める。

平行四辺形ABCDにおいて、$AB=5$, $BC=3$である。

平行四辺形の対角は等しいので、$\angle D = \angle B = 120^\circ$

$\triangle BCD$において、余弦定理を用いると、

$BD^2 = BC^2 + CD^2 - 2BC\cdot CD \cdot \cos D$

$BD^2 = 3^2 + 5^2 - 2\cdot 3 \cdot 5 \cdot \cos 120^\circ$

$BD^2 = 9 + 25 - 30 \cdot (-\frac{1}{2})$

$BD^2 = 34 + 15$

$BD^2 = 49$

$BD = \sqrt{49}$

$BD = 7$

3. 最終的な答え

(1) $\angle B = 120^\circ$

(2) $BD = 7$