三角形ABCにおいて、$AB=5$, $BC=8$, $\angle B=60^\circ$であるとき、以下のものを求める問題です。 (1) 三角形ABCの面積S (2) 線分ACの長さ

1. 問題の内容

三角形ABCにおいて、$AB=5$, $BC=8$, $\angle B=60^\circ$であるとき、以下のものを求める問題です。

(1) 三角形ABCの面積S

(2) 線分ACの長さ

2. 解き方の手順

(1) 三角形ABCの面積Sは、公式$S = \frac{1}{2}AB \cdot BC \cdot \sin B$を用いて計算できます。

$AB=5$, $BC=8$, $\angle B=60^\circ$を代入すると、

$S = \frac{1}{2} \cdot 5 \cdot 8 \cdot \sin 60^\circ$

$\sin 60^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}$なので、

$S = \frac{1}{2} \cdot 5 \cdot 8 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 10\sqrt{3}$

(2) 線分ACの長さは、余弦定理を用いて計算できます。

余弦定理より、$AC^2 = AB^2 + BC^2 - 2 \cdot AB \cdot BC \cdot \cos B$

$AB=5$, $BC=8$, $\angle B=60^\circ$を代入すると、

$AC^2 = 5^2 + 8^2 - 2 \cdot 5 \cdot 8 \cdot \cos 60^\circ$

$\cos 60^\circ = \frac{1}{2}$なので、

$AC^2 = 25 + 64 - 2 \cdot 5 \cdot 8 \cdot \frac{1}{2}$

$AC^2 = 25 + 64 - 40 = 89 - 40 = 49$

$AC = \sqrt{49} = 7$

3. 最終的な答え

(1) 三角形ABCの面積S = $10\sqrt{3}$

(2) 線分ACの長さ = 7