三角形ABCにおいて、辺の長さが $a = 2\sqrt{3}$, $b = \sqrt{3}$, $c = 3$ であるとき、角A, B, Cの大きさを求めよ。

1. 問題の内容

三角形ABCにおいて、辺の長さが $a = 2\sqrt{3}$, $b = \sqrt{3}$, $c = 3$ であるとき、角A, B, Cの大きさを求めよ。

2. 解き方の手順

余弦定理を用いて、各角のcosを求める。

まず、角Aについて余弦定理を用いると、

$a^2 = b^2 + c^2 - 2bc \cos A$

$(2\sqrt{3})^2 = (\sqrt{3})^2 + 3^2 - 2(\sqrt{3})(3) \cos A$

$12 = 3 + 9 - 6\sqrt{3} \cos A$

$0 = -6\sqrt{3} \cos A$

$\cos A = 0$

したがって、 $A = 90^\circ$

次に、角Bについて余弦定理を用いると、

$b^2 = a^2 + c^2 - 2ac \cos B$

$(\sqrt{3})^2 = (2\sqrt{3})^2 + 3^2 - 2(2\sqrt{3})(3) \cos B$

$3 = 12 + 9 - 12\sqrt{3} \cos B$

$-18 = -12\sqrt{3} \cos B$

$\cos B = \frac{18}{12\sqrt{3}} = \frac{3}{2\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{2}$

したがって、$B = 30^\circ$

最後に、三角形の内角の和は180度であるから、

$C = 180^\circ - A - B = 180^\circ - 90^\circ - 30^\circ = 60^\circ$

3. 最終的な答え

$A = 90^\circ$

$B = 30^\circ$

$C = 60^\circ$