与えられた式 $2x^2 + xy - y^2 + 7x - 5y - 4$ を因数分解せよ。

1. 問題の内容

与えられた式 $2x^2 + xy - y^2 + 7x - 5y - 4$ を因数分解せよ。

2. 解き方の手順

与えられた式を $x$ について整理する。

$2x^2 + (y+7)x + (-y^2 - 5y - 4)$

次に、$x$ の2次式と見て、因数分解できるかどうかを検討する。

定数項 $-y^2 - 5y - 4 = -(y^2 + 5y + 4) = -(y+1)(y+4)$ である。

全体を因数分解できると仮定すると、$(2x + ay + b)(x + cy + d)$ の形になるはずである。

$2x^2 + (y+7)x + (-y^2 - 5y - 4) = (2x + ay + b)(x + cy + d)$ と展開すると、

$2x^2 + (2cy + ay)x + ac y^2 + (2d + b)x + (ad + bc)y + bd$

係数を比較する。

$2c + a = y + 7$

$ac = -1$

$2d + b = 7$

$ad + bc = -5$

$bd = -4$

$ac = -1$ より、$a = 1, c = -1$ または $a = -1, c = 1$ を試す。

$a = 1, c = -1$ のとき、$2c + a = -2 + 1 = -1 \neq 1 + 7$ なので不適。

$a = -1, c = 1$ のとき、$2c + a = 2 - 1 = 1 = y + 7$ なので不適。（yの項が残っているため）

ここで、定数項を因数分解した結果を利用する。

$2x^2 + (y+7)x - (y+1)(y+4)$

$2x^2 + (y+7)x - (y+1)(y+4) = (2x + Ay + B)(x + Cy + D)$ とおくと、

$AC = -1$

$BD = -4$

$2C + A = 1$

$AD + BC = 7$

$2x^2 + (y+7)x - (y+1)(y+4) = (2x - y + a)(x + y + b)$ とおくと、

$2x^2 + 2xy + 2xb - xy - y^2 - yb + ax + ay + ab = 2x^2 + xy - y^2 + (2b+a)x + (a-b)y + ab$

$2b+a = 7$

$a-b = -5$

$ab = -4$

$a = b-5$ より、

$2b+b-5 = 7$

$3b = 12$

$b = 4$

$a = -1$

$ab = -4$ となり整合性が取れる。

したがって、$2x^2 + xy - y^2 + 7x - 5y - 4 = (2x - y - 1)(x + y + 4)$

3. 最終的な答え

$(2x - y - 1)(x + y + 4)$