三角形ABCにおいて、$a=6, b=7, c=5$であるとき、以下の問題を解きます。 (1) 三角形ABCの面積Sを求める。 (2) 三角形ABCに内接する円の半径rを求める。

1. 問題の内容

三角形ABCにおいて、$a=6, b=7, c=5$であるとき、以下の問題を解きます。

(1) 三角形ABCの面積Sを求める。

(2) 三角形ABCに内接する円の半径rを求める。

2. 解き方の手順

(1) 三角形ABCの面積Sを求める。

ヘロンの公式を用いて三角形の面積を求めます。

まず、$s = \frac{a+b+c}{2}$を計算します。

$s = \frac{6+7+5}{2} = \frac{18}{2} = 9$

次に、ヘロンの公式 $S = \sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}$ に代入します。

$S = \sqrt{9(9-6)(9-7)(9-5)} = \sqrt{9 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 4} = \sqrt{216} = 6\sqrt{6}$

(2) 三角形ABCに内接する円の半径rを求める。

三角形の面積$S$と内接円の半径$r$の関係式 $S = rs$ を利用します。

ここで、$S = 6\sqrt{6}$ かつ $s = 9$ なので、

$6\sqrt{6} = 9r$

$r = \frac{6\sqrt{6}}{9} = \frac{2\sqrt{6}}{3}$

3. 最終的な答え

(1) $S = 6\sqrt{6}$

(2) $r = \frac{2\sqrt{6}}{3}$