与えられた式 $2x^2 + 5xy - 3y^2 - x + 11y - 6$ を因数分解せよ。

1. 問題の内容

与えられた式 $2x^2 + 5xy - 3y^2 - x + 11y - 6$ を因数分解せよ。

2. 解き方の手順

まず、$x$ について整理します。

$2x^2 + (5y - 1)x + (-3y^2 + 11y - 6)$

次に、$x$ の係数である $5y - 1$ と定数項である $-3y^2 + 11y - 6$ を見て、因数分解ができるかどうかを検討します。

まず、定数項を因数分解します。

$-3y^2 + 11y - 6 = -(3y^2 - 11y + 6) = -(3y - 2)(y - 3) = (2 - 3y)(y - 3)$

与式全体が因数分解できると仮定すると、$(ax+by+c)(dx+ey+f)$ の形になると考えられます。

$2x^2$ の係数が 2 なので、$a$ と $d$ の組み合わせは $(1, 2)$ または $(2, 1)$ です。

$-3y^2$ の係数が -3 なので、$b$ と $e$ の組み合わせは $(1, -3)$ または $(-3, 1)$ などです。

$-6$ の部分は、定数項 $c$ と $f$ の積です。

$2x^2 + (5y - 1)x + (-3y^2 + 11y - 6) = (x+ay+b)(2x+cy+d)$ と仮定して、$a,b,c,d$ を求めます。

$(x+ay+b)(2x+cy+d) = 2x^2 + (c+2a)xy + (d+2b)x + ac y^2 + (ad+bc)y + bd$

これと元の式を比較すると、以下の関係が成り立ちます。

$c+2a = 5$

$ac = -3$

$d+2b = -1$

$ad+bc = 11$

$bd = -6$

$-3y^2 + 11y - 6 = -(3y-2)(y-3)$ より、定数項の分解の仕方を考慮して、以下のように因数分解できると予想します。

$2x^2 + 5xy - 3y^2 - x + 11y - 6 = (2x - y + a)(x + 3y + b)$

$(2x - y + a)(x + 3y + b) = 2x^2 + 6xy + 2bx - xy - 3y^2 - by + ax + 3ay + ab = 2x^2 + 5xy - 3y^2 + (2b+a)x + (3a-b)y + ab$

これと元の式を比較すると、以下の関係が成り立ちます。

$2b+a = -1$

$3a-b = 11$

$ab = -6$

連立方程式を解きます。

$2b+a = -1$ より、$a = -1 - 2b$

$3a-b = 11$ に代入すると、$3(-1-2b) - b = 11$, $-3-6b-b=11$, $-7b = 14$, $b=-2$

$a = -1 - 2(-2) = -1 + 4 = 3$

したがって、$a=3, b=-2$ なので、$ab = (3)(-2) = -6$ となり、条件を満たします。

$(2x-y+3)(x+3y-2)$

3. 最終的な答え

$(2x - y + 3)(x + 3y - 2)$