縦$x$ cm、横$y$ cmの長方形のタイルがある。このタイルを図2のように4枚並べると周囲の長さが70cmになり、図3のように7枚並べると周囲の長さが96cmになる。$x$と$y$の値を求める。

1. 問題の内容

縦$x$ cm、横$y$ cmの長方形のタイルがある。このタイルを図2のように4枚並べると周囲の長さが70cmになり、図3のように7枚並べると周囲の長さが96cmになる。$x$と$y$の値を求める。

2. 解き方の手順

まず、図2の周囲の長さを$x$と$y$で表す。図2の形は、横に3つのタイル、縦に1つのタイルが並んでいるので、周囲の長さは、$2(3y + x + y) = 2(4y + x) = 8y + 2x$となる。これが70cmなので、

$8y + 2x = 70$

次に、図3の周囲の長さを$x$と$y$で表す。図3の形は、横に4つのタイルが並び、その上に縦に2つのタイルが並んでいる。したがって、周囲の長さは、$2(4y + x + x +y)=2(5y + 2x) = 10y + 4x$となる。これが96cmなので、

$10y + 4x = 96$

連立方程式

$8y + 2x = 70$

$10y + 4x = 96$

を解く。

最初の式を2倍して

$16y + 4x = 140$

2番目の式から最初の式を2倍したものを引くと

$(10y + 4x) - (16y + 4x) = 96 - 140$

$-6y = -44$

$y = \frac{-44}{-6} = \frac{22}{3}$

$8y + 2x = 70$に$y = \frac{22}{3}$を代入する。

$8 \times \frac{22}{3} + 2x = 70$

$\frac{176}{3} + 2x = 70$

$2x = 70 - \frac{176}{3}$

$2x = \frac{210}{3} - \frac{176}{3}$

$2x = \frac{34}{3}$

$x = \frac{34}{3} \times \frac{1}{2}$

$x = \frac{17}{3}$

3. 最終的な答え

$x = \frac{17}{3}$ cm, $y = \frac{22}{3}$ cm