一辺の長さが $a$ の正四面体ABCDにおいて、辺BCの中点をHとする。点Aから線分DHに下ろした垂線をAKとし、$\angle ADH = \alpha$とする。 (1) $\cos{\alpha}$ の値を求めよ。 (2) 線分AKの長さを求めよ。 (3) 正四面体ABCDの体積Vを求めよ。

1. 問題の内容

一辺の長さが $a$ の正四面体ABCDにおいて、辺BCの中点をHとする。点Aから線分DHに下ろした垂線をAKとし、$\angle ADH = \alpha$とする。

(1) $\cos{\alpha}$ の値を求めよ。

(2) 線分AKの長さを求めよ。

(3) 正四面体ABCDの体積Vを求めよ。

2. 解き方の手順

(1) $\cos{\alpha}$ を求める。

$\triangle BDH$において、$BD = a, BH = a/2, \angle DBH = 60^\circ$であるから、余弦定理より

$DH^2 = BD^2 + BH^2 - 2 \cdot BD \cdot BH \cdot \cos{60^\circ}$

$DH^2 = a^2 + (a/2)^2 - 2 \cdot a \cdot (a/2) \cdot (1/2)$

$DH^2 = a^2 + a^2/4 - a^2/2 = 3a^2/4$

$DH = \frac{\sqrt{3}}{2}a$

$\triangle ADH$において、$AD = a, AH = \frac{\sqrt{3}}{2}a, DH = \frac{\sqrt{3}}{2}a$であるから、余弦定理より

$AH^2 = AD^2 + DH^2 - 2 \cdot AD \cdot DH \cdot \cos{\alpha}$

$(\frac{\sqrt{3}}{2}a)^2 = a^2 + (\frac{\sqrt{3}}{2}a)^2 - 2 \cdot a \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}a \cdot \cos{\alpha}$

$\frac{3}{4}a^2 = a^2 + \frac{3}{4}a^2 - \sqrt{3}a^2\cos{\alpha}$

$\sqrt{3}a^2 \cos{\alpha} = a^2 + \frac{3}{4}a^2 - \frac{3}{4}a^2$

$\sqrt{3}a^2 \cos{\alpha} = a^2$

$\cos{\alpha} = \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{3}$

(2) 線分AKの長さを求める。

$\triangle ADH$の面積は、底辺をDHとすると高さがAKなので、$\frac{1}{2} \cdot DH \cdot AK$と表せる。

一方、$\triangle ADH$の面積は、$\frac{1}{2} \cdot AD \cdot DH \cdot \sin{\alpha}$と表せる。

よって、$\frac{1}{2} \cdot DH \cdot AK = \frac{1}{2} \cdot AD \cdot DH \cdot \sin{\alpha}$

$AK = AD \cdot \sin{\alpha}$

$\sin^2{\alpha} + \cos^2{\alpha} = 1$より、$\sin^2{\alpha} = 1 - \cos^2{\alpha} = 1 - (\frac{\sqrt{3}}{3})^2 = 1 - \frac{1}{3} = \frac{2}{3}$

$\sin{\alpha} = \sqrt{\frac{2}{3}} = \frac{\sqrt{6}}{3}$

$AK = a \cdot \frac{\sqrt{6}}{3} = \frac{\sqrt{6}}{3}a$

(3) 正四面体ABCDの体積Vを求める。

頂点Aから底面BCDに下ろした垂線の足をOとすると、Oは$\triangle BCD$ の重心となる。

したがって、$DO = \frac{2}{3}DH = \frac{2}{3} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}a = \frac{\sqrt{3}}{3}a$

$\triangle ADO$において、$AD^2 = AO^2 + DO^2$

$AO^2 = AD^2 - DO^2 = a^2 - (\frac{\sqrt{3}}{3}a)^2 = a^2 - \frac{1}{3}a^2 = \frac{2}{3}a^2$

$AO = \sqrt{\frac{2}{3}}a = \frac{\sqrt{6}}{3}a$

正四面体の体積$V = \frac{1}{3} \cdot \triangle BCD \cdot AO$

$\triangle BCD = \frac{\sqrt{3}}{4} a^2$

$V = \frac{1}{3} \cdot \frac{\sqrt{3}}{4} a^2 \cdot \frac{\sqrt{6}}{3}a = \frac{\sqrt{18}}{36} a^3 = \frac{3\sqrt{2}}{36} a^3 = \frac{\sqrt{2}}{12} a^3$

3. 最終的な答え

(1) $\cos{\alpha} = \frac{\sqrt{3}}{3}$

(2) $AK = \frac{\sqrt{6}}{3}a$

(3) $V = \frac{\sqrt{2}}{12} a^3$