$x = \log_5 50 + \log_{25} 400 - 3$のとき、$\sqrt[3]{5^x}$の値を求める。

1. 問題の内容

$x = \log_5 50 + \log_{25} 400 - 3$のとき、$\sqrt[3]{5^x}$の値を求める。

2. 解き方の手順

まず、$x$の値を計算する。

$\log_{25} 400$を計算するために、底を5に変換する。

$\log_{25} 400 = \frac{\log_5 400}{\log_5 25} = \frac{\log_5 400}{2} = \frac{\log_5 (16 \cdot 25)}{2} = \frac{\log_5 16 + \log_5 25}{2} = \frac{\log_5 16 + 2}{2} = \frac{\log_5 16}{2} + 1 = \frac{1}{2} \log_5 16 + 1 = \log_5 \sqrt{16} + 1 = \log_5 4 + 1$

したがって、

$x = \log_5 50 + \log_5 4 + 1 - 3 = \log_5 50 + \log_5 4 - 2 = \log_5 (50 \cdot 4) - 2 = \log_5 200 - 2 = \log_5 200 - \log_5 25 = \log_5 \frac{200}{25} = \log_5 8$

次に、$\sqrt[3]{5^x}$を計算する。

$\sqrt[3]{5^x} = (5^x)^{\frac{1}{3}} = 5^{\frac{x}{3}}$

$x = \log_5 8$だったので、

$5^{\frac{x}{3}} = 5^{\frac{\log_5 8}{3}} = 5^{\frac{1}{3} \log_5 8} = 5^{\log_5 8^{\frac{1}{3}}} = 8^{\frac{1}{3}} = \sqrt[3]{8} = 2$

3. 最終的な答え

2