数学的帰納法を用いて、次の等式を証明する問題です。 $1 + 2 + 3 + \dots + n = \frac{1}{2}n(n+1)$

1. 問題の内容

数学的帰納法を用いて、次の等式を証明する問題です。

$1 + 2 + 3 + \dots + n = \frac{1}{2}n(n+1)$

2. 解き方の手順

数学的帰納法を使って証明します。

(1) $n=1$ のとき

左辺は $1$、右辺は $\frac{1}{2} \cdot 1 \cdot (1+1) = \frac{1}{2} \cdot 1 \cdot 2 = 1$。

したがって、$n=1$ のとき、等式は成立します。

(2) $n=k$ のとき、等式が成立すると仮定します。つまり、

$1 + 2 + 3 + \dots + k = \frac{1}{2}k(k+1)$

が成り立つと仮定します。

(3) $n=k+1$ のとき、等式が成立することを証明します。

$n=k+1$ のときの左辺は、

$1 + 2 + 3 + \dots + k + (k+1)$

ここで、(2)の仮定を用いると、

$1 + 2 + 3 + \dots + k + (k+1) = \frac{1}{2}k(k+1) + (k+1)$

$= \frac{1}{2}k(k+1) + \frac{2}{2}(k+1)$

$= \frac{1}{2}k(k+1) + \frac{2(k+1)}{2}$

$= \frac{k(k+1) + 2(k+1)}{2}$

$= \frac{(k+1)(k+2)}{2}$

$= \frac{1}{2}(k+1)(k+2)$

これは、$n=k+1$ のときの右辺 $\frac{1}{2}(k+1)((k+1)+1) = \frac{1}{2}(k+1)(k+2)$ と一致します。

したがって、$n=k+1$ のときも等式は成立します。

(1),(3)より、数学的帰納法によって、すべての自然数 $n$ について等式

$1 + 2 + 3 + \dots + n = \frac{1}{2}n(n+1)$

が成立することが証明されました。

3. 最終的な答え

$1 + 2 + 3 + \dots + n = \frac{1}{2}n(n+1)$