$n$を4以上の自然数とするとき、不等式 $2^n > 3n$ を証明する問題です。

代数学数学的帰納法不等式指数関数
2025/7/20

1. 問題の内容

nnを4以上の自然数とするとき、不等式 2n>3n2^n > 3n を証明する問題です。

2. 解き方の手順

数学的帰納法を用いて証明します。
(1) n=4n = 4 のとき
左辺:24=162^4 = 16
右辺:3×4=123 \times 4 = 12
16>1216 > 12 より、n=4n = 4 のとき不等式は成り立ちます。
(2) n=kn = kk4k \geq 4)のとき、2k>3k2^k > 3kが成り立つと仮定します。
このとき、n=k+1n = k+1 のときも不等式が成り立つことを示します。
n=k+1n = k+1 のとき、2k+1>3(k+1)2^{k+1} > 3(k+1) が成り立つことを示す必要があります。
2k+1=2×2k2^{k+1} = 2 \times 2^k
帰納法の仮定より、2k>3k2^k > 3k なので、
2k+1=2×2k>2×3k=6k2^{k+1} = 2 \times 2^k > 2 \times 3k = 6k
ここで、6k>3(k+1)6k > 3(k+1) を示すことができれば、2k+1>3(k+1)2^{k+1} > 3(k+1) が示されたことになります。
6k>3(k+1)6k > 3(k+1)
6k>3k+36k > 3k + 3
3k>33k > 3
k>1k > 1
k4k \geq 4 なので、k>1k > 1 は常に成り立ちます。
したがって、6k>3(k+1)6k > 3(k+1) が成り立ちます。
よって、2k+1>6k>3(k+1)2^{k+1} > 6k > 3(k+1) となるので、2k+1>3(k+1)2^{k+1} > 3(k+1) が成り立ちます。
(1), (2) より、4以上のすべての自然数 nn に対して、2n>3n2^n > 3n が成り立ちます。

3. 最終的な答え

4以上のすべての自然数 nn に対して、2n>3n2^n > 3n が成り立つ。

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