1. 問題の内容
を4以上の自然数とするとき、不等式 を証明する問題です。
2. 解き方の手順
数学的帰納法を用いて証明します。
(1) のとき
左辺:
右辺:
より、 のとき不等式は成り立ちます。
(2) ()のとき、が成り立つと仮定します。
このとき、 のときも不等式が成り立つことを示します。
のとき、 が成り立つことを示す必要があります。
帰納法の仮定より、 なので、
ここで、 を示すことができれば、 が示されたことになります。
なので、 は常に成り立ちます。
したがって、 が成り立ちます。
よって、 となるので、 が成り立ちます。
(1), (2) より、4以上のすべての自然数 に対して、 が成り立ちます。
3. 最終的な答え
4以上のすべての自然数 に対して、 が成り立つ。