与えられた行列 $A = \begin{bmatrix} -2 & 3 & -4 \\ 4 & -3 & 8 \\ -4 & 3 & -4 \end{bmatrix}$ に対して、以下の問題を解きます。 (1) $A$ の余因子行列 $\tilde{A}$ を求めよ。 (2) 逆行列 $A^{-1}$ が存在するか判定し、存在する場合は $A^{-1}$ を求めよ。

1. 問題の内容

与えられた行列 $A = \begin{bmatrix} -2 & 3 & -4 \\ 4 & -3 & 8 \\ -4 & 3 & -4 \end{bmatrix}$ に対して、以下の問題を解きます。

(1) $A$ の余因子行列 $\tilde{A}$ を求めよ。

(2) 逆行列 $A^{-1}$ が存在するか判定し、存在する場合は $A^{-1}$ を求めよ。

2. 解き方の手順

(1) 余因子行列 $\tilde{A}$ を求める。

まず、各成分の余因子 $C_{ij}$ を計算します。

$C_{11} = (-3)(-4) - (8)(3) = 12 - 24 = -12$

$C_{12} = -(4(-4) - 8(-4)) = -(-16 + 32) = -16$

$C_{13} = (4)(3) - (-3)(-4) = 12 - 12 = 0$

$C_{21} = -(3(-4) - (-4)(3)) = -(-12 + 12) = 0$

$C_{22} = (-2)(-4) - (-4)(-4) = 8 - 16 = -8$

$C_{23} = -((-2)(3) - (3)(-4)) = -(-6 + 12) = -6$

$C_{31} = (3)(8) - (-3)(-4) = 24 - 12 = 12$

$C_{32} = -((-2)(8) - (4)(-4)) = -(-16 + 16) = 0$

$C_{33} = (-2)(-3) - (3)(4) = 6 - 12 = -6$

したがって、$A$ の余因子行列 $\tilde{A}$ は以下のようになります。

$\tilde{A} = \begin{bmatrix} C_{11} & C_{12} & C_{13} \\ C_{21} & C_{22} & C_{23} \\ C_{31} & C_{32} & C_{33} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -12 & -16 & 0 \\ 0 & -8 & -6 \\ 12 & 0 & -6 \end{bmatrix}$

(2) 逆行列 $A^{-1}$ が存在するか判定し、存在する場合は $A^{-1}$ を求める。

まず、行列 $A$ の行列式 $|A|$ を計算します。

$|A| = -2((-3)(-4) - (8)(3)) - 3((4)(-4) - (8)(-4)) - 4((4)(3) - (-3)(-4)) = -2(12 - 24) - 3(-16 + 32) - 4(12 - 12) = -2(-12) - 3(16) - 4(0) = 24 - 48 - 0 = -24$

行列式 $|A| = -24 \neq 0$ であるため、逆行列 $A^{-1}$ は存在します。

$A^{-1}$ は、余因子行列 $\tilde{A}$ の転置行列を $|A|$ で割ったものです。

$\tilde{A}^T = \begin{bmatrix} -12 & 0 & 12 \\ -16 & -8 & 0 \\ 0 & -6 & -6 \end{bmatrix}$

$A^{-1} = \frac{1}{|A|} \tilde{A}^T = \frac{1}{-24} \begin{bmatrix} -12 & 0 & 12 \\ -16 & -8 & 0 \\ 0 & -6 & -6 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \frac{-12}{-24} & \frac{0}{-24} & \frac{12}{-24} \\ \frac{-16}{-24} & \frac{-8}{-24} & \frac{0}{-24} \\ \frac{0}{-24} & \frac{-6}{-24} & \frac{-6}{-24} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \frac{1}{2} & 0 & -\frac{1}{2} \\ \frac{2}{3} & \frac{1}{3} & 0 \\ 0 & \frac{1}{4} & \frac{1}{4} \end{bmatrix}$

3. 最終的な答え

(1) 余因子行列 $\tilde{A}$ は

$\tilde{A} = \begin{bmatrix} -12 & -16 & 0 \\ 0 & -8 & -6 \\ 12 & 0 & -6 \end{bmatrix}$

(2) 逆行列 $A^{-1}$ は

$A^{-1} = \begin{bmatrix} \frac{1}{2} & 0 & -\frac{1}{2} \\ \frac{2}{3} & \frac{1}{3} & 0 \\ 0 & \frac{1}{4} & \frac{1}{4} \end{bmatrix}$