与えられた行列 $A = \begin{bmatrix} -2 & 3 & -4 \\ 4 & -3 & 8 \\ -4 & 3 & -4 \end{bmatrix}$ に対して、以下の問題を解きます。 (1) $A$ の余因子行列 $\tilde{A}$ を求めます。 (2) 逆行列 $A^{-1}$ が存在するか判定し、存在するならば $A^{-1}$ を求めます。

1. 問題の内容

与えられた行列 $A = \begin{bmatrix} -2 & 3 & -4 \\ 4 & -3 & 8 \\ -4 & 3 & -4 \end{bmatrix}$ に対して、以下の問題を解きます。

(1) $A$ の余因子行列 $\tilde{A}$ を求めます。

(2) 逆行列 $A^{-1}$ が存在するか判定し、存在するならば $A^{-1}$ を求めます。

2. 解き方の手順

(1) 余因子行列 $\tilde{A}$ を求める手順：

まず、各成分の余因子 $C_{ij}$ を計算します。

$C_{11} = (-1)^{1+1} \begin{vmatrix} -3 & 8 \\ 3 & -4 \end{vmatrix} = (-3)(-4) - (8)(3) = 12 - 24 = -12$

$C_{12} = (-1)^{1+2} \begin{vmatrix} 4 & 8 \\ -4 & -4 \end{vmatrix} = -(4(-4) - 8(-4)) = -(-16 + 32) = -16$

$C_{13} = (-1)^{1+3} \begin{vmatrix} 4 & -3 \\ -4 & 3 \end{vmatrix} = (4)(3) - (-3)(-4) = 12 - 12 = 0$

$C_{21} = (-1)^{2+1} \begin{vmatrix} 3 & -4 \\ 3 & -4 \end{vmatrix} = -(3(-4) - (-4)(3)) = -(-12 + 12) = 0$

$C_{22} = (-1)^{2+2} \begin{vmatrix} -2 & -4 \\ -4 & -4 \end{vmatrix} = (-2)(-4) - (-4)(-4) = 8 - 16 = -8$

$C_{23} = (-1)^{2+3} \begin{vmatrix} -2 & 3 \\ -4 & 3 \end{vmatrix} = -((-2)(3) - (3)(-4)) = -(-6 + 12) = -6$

$C_{31} = (-1)^{3+1} \begin{vmatrix} 3 & -4 \\ -3 & 8 \end{vmatrix} = (3)(8) - (-4)(-3) = 24 - 12 = 12$

$C_{32} = (-1)^{3+2} \begin{vmatrix} -2 & -4 \\ 4 & 8 \end{vmatrix} = -((-2)(8) - (-4)(4)) = -(-16 + 16) = 0$

$C_{33} = (-1)^{3+3} \begin{vmatrix} -2 & 3 \\ 4 & -3 \end{vmatrix} = (-2)(-3) - (3)(4) = 6 - 12 = -6$

余因子行列は、これらの余因子を並べたものの転置です。

$\tilde{A} = \begin{bmatrix} C_{11} & C_{21} & C_{31} \\ C_{12} & C_{22} & C_{32} \\ C_{13} & C_{23} & C_{33} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -12 & 0 & 12 \\ -16 & -8 & 0 \\ 0 & -6 & -6 \end{bmatrix}$

(2) 逆行列 $A^{-1}$ を求める手順：

まず、$A$ の行列式 $\det(A)$ を計算します。

$\det(A) = -2\begin{vmatrix} -3 & 8 \\ 3 & -4 \end{vmatrix} - 3\begin{vmatrix} 4 & 8 \\ -4 & -4 \end{vmatrix} - 4\begin{vmatrix} 4 & -3 \\ -4 & 3 \end{vmatrix} = -2(-12) - 3(-16+32) - 4(12-12) = 24 - 3(16) - 4(0) = 24 - 48 = -24$

$\det(A) \neq 0$ なので、逆行列 $A^{-1}$ が存在します。

$A^{-1} = \frac{1}{\det(A)} \tilde{A} = \frac{1}{-24} \begin{bmatrix} -12 & 0 & 12 \\ -16 & -8 & 0 \\ 0 & -6 & -6 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \frac{1}{2} & 0 & -\frac{1}{2} \\ \frac{2}{3} & \frac{1}{3} & 0 \\ 0 & \frac{1}{4} & \frac{1}{4} \end{bmatrix}$

3. 最終的な答え

(1) 余因子行列 $\tilde{A}$ は、

$\tilde{A} = \begin{bmatrix} -12 & 0 & 12 \\ -16 & -8 & 0 \\ 0 & -6 & -6 \end{bmatrix}$

(2) 逆行列 $A^{-1}$ は、

$A^{-1} = \begin{bmatrix} \frac{1}{2} & 0 & -\frac{1}{2} \\ \frac{2}{3} & \frac{1}{3} & 0 \\ 0 & \frac{1}{4} & \frac{1}{4} \end{bmatrix}$