グラフで表された20人のテストの点数分布から、平均値、中央値、最頻値、標準偏差を求める問題です。標準偏差は小数点以下第一位を四捨五入して整数値で答えます。

## 問題３

1. 問題の内容

グラフで表された20人のテストの点数分布から、平均値、中央値、最頻値、標準偏差を求める問題です。標準偏差は小数点以下第一位を四捨五入して整数値で答えます。

2. 解き方の手順

まず、グラフから各点数の人数を読み取ります。

40点：1人

50点：3人

60点：6人

70点：5人

80点：2人

90点：2人

100点：1人

* 平均値：各点数に人数を掛けたものの総和を総人数で割ります。

$\text{平均値} = \frac{(40 \times 1) + (50 \times 3) + (60 \times 6) + (70 \times 5) + (80 \times 2) + (90 \times 2) + (100 \times 1)}{20}$

$\text{平均値} = \frac{40 + 150 + 360 + 350 + 160 + 180 + 100}{20} = \frac{1340}{20} = 67$

* 中央値：データを小さい順に並べたときの中央の値です。20人なので、10番目と11番目のデータの平均を取ります。

データは小さい順に、40, 50, 50, 50, 60, 60, 60, 60, 60, 60, 70, 70, 70, 70, 70, 80, 80, 90, 90, 100 となります。

10番目は60点、11番目は70点なので、中央値は$\frac{60+70}{2} = 65$点です。

* 最頻値：最も人数の多い点数です。グラフより60点が6人なので、最頻値は60点です。

* 標準偏差：

1. 分散を求めます。分散は、各データの「平均値との差の2乗」を合計し、データの個数で割ったものです。

$\text{分散} = \frac{\sum_{i=1}^{20}(x_i - \bar{x})^2}{20}$

$\begin{aligned}

\text{分散} &= \frac{(40-67)^2 + 3(50-67)^2 + 6(60-67)^2 + 5(70-67)^2 + 2(80-67)^2 + 2(90-67)^2 + (100-67)^2}{20} \\

&= \frac{27^2 + 3(17^2) + 6(7^2) + 5(3^2) + 2(13^2) + 2(23^2) + 33^2}{20} \\

&= \frac{729 + 3(289) + 6(49) + 5(9) + 2(169) + 2(529) + 1089}{20} \\

&= \frac{729 + 867 + 294 + 45 + 338 + 1058 + 1089}{20} \\

&= \frac{4420}{20} = 221

\end{aligned}$

2. 標準偏差は分散の平方根です。

$\text{標準偏差} = \sqrt{\text{分散}} = \sqrt{221} \approx 14.87$

小数点以下第一位で四捨五入すると、標準偏差は15点です。

3. 最終的な答え

* 平均値：67点

* 中央値：65点

* 最頻値：60点

* 標準偏差：15点

## 問題４

1. 問題の内容

80個のデータがあり、そのうち20個のデータの平均値と分散、残り60個のデータの平均値と分散が与えられています。このとき、データ全体の平均値と分散を求めます。

2. 解き方の手順

* 全体の平均値：

20個のデータの平均値は16、60個のデータの平均値は12なので、全体の平均値は加重平均で求められます。

$\text{全体の平均値} = \frac{(20 \times 16) + (60 \times 12)}{80} = \frac{320 + 720}{80} = \frac{1040}{80} = 13$

* 全体の分散：

全体の分散を求めるには、各データの平均からの偏差の二乗和を計算する必要があります。

そのため、まず、各データ群の二乗和を求めます。

分散の定義より、$V = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^n (x_i - \bar{x})^2$ とかけるので、

$\sum_{i=1}^n (x_i - \bar{x})^2 = nV$ となります。

20個のデータについて、分散は24、平均値は16なので、

$\sum_{i=1}^{20} (x_i - 16)^2 = 20 \times 24 = 480$

60個のデータについて、分散は28、平均値は12なので、

$\sum_{i=1}^{60} (x_i - 12)^2 = 60 \times 28 = 1680$

全体の分散は、各データの平均からの偏差の二乗和を合計し、データの個数で割ったものなので、

$\begin{aligned}

\text{全体の分散} &= \frac{\sum_{i=1}^{20} (x_i - 13)^2 + \sum_{i=21}^{80} (x_i - 13)^2}{80}

\end{aligned}$

ここで、偏差の二乗和を展開すると、

$(x_i - 13)^2 = (x_i - 16 + 3)^2 = (x_i - 16)^2 + 6(x_i - 16) + 9$

$(x_i - 13)^2 = (x_i - 12 - 1)^2 = (x_i - 12)^2 - 2(x_i - 12) + 1$

各データ群の偏差の二乗和を計算するために、$\sum_{i=1}^{n} (x_i - \bar{x})$ を計算する必要があります。

しかし、平均の定義より、$\sum_{i=1}^{n} (x_i - \bar{x}) = 0$ なので、

$\sum_{i=1}^{20} (x_i - 13)^2 = \sum_{i=1}^{20} ((x_i - 16) + 3)^2 = \sum_{i=1}^{20} (x_i - 16)^2 + 20 \times 3^2 = 480 + 180 = 660$

$\sum_{i=21}^{80} (x_i - 13)^2 = \sum_{i=21}^{80} ((x_i - 12) - 1)^2 = \sum_{i=21}^{80} (x_i - 12)^2 + 60 \times 1^2 = 1680 + 60 = 1740$

$\begin{aligned}

\text{全体の分散} &= \frac{\sum_{i=1}^{20} (x_i - 13)^2 + \sum_{i=21}^{80} (x_i - 13)^2}{80} = \frac{660 + 1740}{80} = \frac{2400}{80} = 30

\end{aligned}$

3. 最終的な答え

* 平均値：13

* 分散：30