80個のデータがあり、そのうち20個の平均は16、分散は24、残りの60個の平均は12、分散は28である。全体の平均と分散を求める。

1. 問題の内容

80個のデータがあり、そのうち20個の平均は16、分散は24、残りの60個の平均は12、分散は28である。全体の平均と分散を求める。

2. 解き方の手順

全体の平均は、各グループの平均の加重平均で求められます。全体の分散は、各グループの分散と平均を用いて求められます。

まず、全体の平均を計算します。

全体の平均を$\bar{x}$とすると、

$\bar{x} = \frac{20 \times 16 + 60 \times 12}{80}$

$\bar{x} = \frac{320 + 720}{80} = \frac{1040}{80} = 13$

次に、全体の分散を計算します。

全体の分散を$s^2$とすると、

$s^2 = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} (x_i - \bar{x})^2$

ここで、

$s^2 = \frac{1}{80} [20(s_1^2 + (\bar{x_1} - \bar{x})^2) + 60(s_2^2 + (\bar{x_2} - \bar{x})^2)]$

$s_1^2 = 24$, $\bar{x_1} = 16$

$s_2^2 = 28$, $\bar{x_2} = 12$

$\bar{x} = 13$

$s^2 = \frac{1}{80}[20(24 + (16 - 13)^2) + 60(28 + (12 - 13)^2)]$

$s^2 = \frac{1}{80}[20(24 + 9) + 60(28 + 1)]$

$s^2 = \frac{1}{80}[20(33) + 60(29)]$

$s^2 = \frac{1}{80}[660 + 1740]$

$s^2 = \frac{1}{80}[2400] = 30$

3. 最終的な答え

全体の平均値は13です。

全体の分散は30です。