与えられた式 $x^4 - 6x^2 + 1$ を因数分解せよ。

1. 問題の内容

与えられた式 $x^4 - 6x^2 + 1$ を因数分解せよ。

2. 解き方の手順

与式を $A^2 - B^2$ の形に変形して、因数分解を行う。

まず、与式に $8x^2$ を加えて、そこから $8x^2$ を引くことで式を変形する。

$x^4 - 6x^2 + 1 = x^4 + 2x^2 + 1 - 8x^2$

ここで、$x^4 + 2x^2 + 1 = (x^2 + 1)^2$ と変形できる。

よって、

$x^4 - 6x^2 + 1 = (x^2 + 1)^2 - 8x^2$

$8x^2 = (2\sqrt{2}x)^2$ であるから、

$x^4 - 6x^2 + 1 = (x^2 + 1)^2 - (2\sqrt{2}x)^2$

$A^2 - B^2 = (A + B)(A - B)$ の公式を用いると、

$(x^2 + 1)^2 - (2\sqrt{2}x)^2 = (x^2 + 1 + 2\sqrt{2}x)(x^2 + 1 - 2\sqrt{2}x)$

$=(x^2 + 2\sqrt{2}x + 1)(x^2 - 2\sqrt{2}x + 1)$

3. 最終的な答え

$(x^2 + 2\sqrt{2}x + 1)(x^2 - 2\sqrt{2}x + 1)$