与えられた3x3の行列式 $ \begin{vmatrix} 0 & 0 & 4 \\ 0 & -5 & 7 \\ 3 & 2 & 1 \end{vmatrix} $ の値を求めます。

## 問題 2 (1) の解答

1. 問題の内容

与えられた3x3の行列式

$$

\begin{vmatrix}

0 & 0 & 4 \\

0 & -5 & 7 \\

3 & 2 & 1

\end{vmatrix}

$$

の値を求めます。

2. 解き方の手順

行列式は、余因子展開を用いて計算できます。

第1列に沿って展開すると、

$$

\begin{vmatrix}

0 & 0 & 4 \\

0 & -5 & 7 \\

3 & 2 & 1

\end{vmatrix} = 0 \cdot C_{11} + 0 \cdot C_{21} + 3 \cdot C_{31}

$$

ここで、$C_{31}$ は (3,1) 成分の余因子です。

$C_{31} = (-1)^{3+1} \begin{vmatrix} 0 & 4 \\ -5 & 7 \end{vmatrix} = (0 \cdot 7 - 4 \cdot (-5)) = 20$

よって、行列式は

$3 \cdot C_{31} = 3 \cdot 20 = 60$

3. 最終的な答え

60

## 問題 2 (2) の解答

1. 問題の内容

与えられた3x3の行列式

$$

\begin{vmatrix}

2 & 3 & 5 \\

8 & 13 & -1 \\

6 & -9 & 6

\end{vmatrix}

$$

の値を求めます。

2. 解き方の手順

行列式を計算するために、サラスの公式を用いることができます。

$$

\begin{vmatrix}

2 & 3 & 5 \\

8 & 13 & -1 \\

6 & -9 & 6

\end{vmatrix} = (2 \times 13 \times 6) + (3 \times (-1) \times 6) + (5 \times 8 \times (-9)) - (5 \times 13 \times 6) - (2 \times (-1) \times (-9)) - (3 \times 8 \times 6)

$$

$= 156 - 18 - 360 - 390 - 18 - 144 = -774$

3. 最終的な答え

-774

## 問題 2 (3) の解答

1. 問題の内容

与えられた3x3の行列式

$$

\begin{vmatrix}

12 & 16 & 32 \\

-6 & 13 & 4 \\

15 & 10 & -20

\end{vmatrix}

$$

の値を求めます。

2. 解き方の手順

まず、1行目から4を、2行目から2を、3行目から5をくくりだします。

$4 \times 2 \times 5 \times \begin{vmatrix} 3 & 4 & 8 \\ -3 & 13/2 & 2 \\ 3 & 2 & -4 \end{vmatrix}$

$= 40 \times \begin{vmatrix} 3 & 4 & 8 \\ -3 & 13/2 & 2 \\ 3 & 2 & -4 \end{vmatrix}$

サラスの公式を用いると、

$$

40 \times \left( 3 \times \frac{13}{2} \times (-4) + 4 \times 2 \times 3 + 8 \times (-3) \times 2 - 8 \times \frac{13}{2} \times 3 - 3 \times 2 \times 2 - 4 \times (-3) \times (-4) \right)

$$

$$

= 40 \times \left( -78 + 24 - 48 - 156 - 12 - 48 \right) = 40 \times (-318) = -12720

$$

3. 最終的な答え

-12720

## 問題 2 (4) の解答

1. 問題の内容

与えられた4x4の行列式

$$

\begin{vmatrix}

2 & -4 & -5 & 3 \\

-6 & 13 & 14 & 1 \\

1 & -2 & -2 & -8 \\

2 & -5 & 0 & 5

\end{vmatrix}

$$

の値を求めます。

2. 解き方の手順

行列式を計算するために、行基本変形を用いて計算を簡略化します。

1行目を基準にして、他の行を0が多くなるように変形します。

2行目: 2行目 + 3 x 1行目

3行目: 3行目 - 1/2 x 1行目

4行目: 4行目 - 1 x 1行目

$$

\begin{vmatrix}

2 & -4 & -5 & 3 \\

0 & 1 & -1 & 10 \\

0 & 0 & 1/2 & -19/2 \\

0 & -1 & 5 & 2

\end{vmatrix}

$$

次に、2行目を基準にして、4行目を0が多くなるように変形します。

4行目: 4行目 + 2行目

$$

\begin{vmatrix}

2 & -4 & -5 & 3 \\

0 & 1 & -1 & 10 \\

0 & 0 & 1/2 & -19/2 \\

0 & 0 & 4 & 12

\end{vmatrix}

$$

次に、3行目を基準にして、4行目を0が多くなるように変形します。

4行目: 4行目 - 8 x 3行目

$$

\begin{vmatrix}

2 & -4 & -5 & 3 \\

0 & 1 & -1 & 10 \\

0 & 0 & 1/2 & -19/2 \\

0 & 0 & 0 & 90

\end{vmatrix}

$$

この行列式は上三角行列なので、対角成分の積で計算できます。

$$

2 \times 1 \times \frac{1}{2} \times 90 = 90

$$

3. 最終的な答え

90

## 問題 2 (5) の解答

1. 問題の内容

与えられた4x4の行列式

$$

\begin{vmatrix}

0 & -3 & -6 & 15 \\

-2 & 5 & 14 & 4 \\

1 & -3 & -2 & 5 \\

15 & 10 & 10 & -5

\end{vmatrix}

$$

の値を求めます。

2. 解き方の手順

1行目と3行目を入れ替える（符号が変わる）

$$

- \begin{vmatrix}

1 & -3 & -2 & 5 \\

-2 & 5 & 14 & 4 \\

0 & -3 & -6 & 15 \\

15 & 10 & 10 & -5

\end{vmatrix}

$$

次に、1行目を基準にして、他の行を0が多くなるように変形します。

2行目: 2行目 + 2 x 1行目

4行目: 4行目 - 15 x 1行目

$$

- \begin{vmatrix}

1 & -3 & -2 & 5 \\

0 & -1 & 10 & 14 \\

0 & -3 & -6 & 15 \\

0 & 55 & 40 & -80

\end{vmatrix}

$$

次に、1行目と2行目と3行目の行列を取り出す

$$

- \begin{vmatrix}

-1 & 10 & 14 \\

-3 & -6 & 15 \\

55 & 40 & -80

\end{vmatrix}

$$

$= - ((-1) \times (-6) \times (-80) + 10 \times 15 \times 55 + 14 \times (-3) \times 40 - 14 \times (-6) \times 55 - (-1) \times 15 \times 40 - 10 \times (-3) \times (-80))

$$

$= -(-480 + 8250 - 1680 + 4620 + 600 - 2400)

= - 8810 $

3. 最終的な答え

8810

## 問題 2 (6) の解答

1. 問題の内容

与えられた3x3の行列式

$$

\begin{vmatrix}

1/4 & 1/6 & 2/3 \\

1/12 & 1/6 & 1/4 \\

1/4 & 0 & 1/6

\end{vmatrix}

$$

の値を求めます。

2. 解き方の手順

行列式を計算するために、サラスの公式を用いることができます。

$$

\begin{vmatrix}

1/4 & 1/6 & 2/3 \\

1/12 & 1/6 & 1/4 \\

1/4 & 0 & 1/6

\end{vmatrix} = (\frac{1}{4} \times \frac{1}{6} \times \frac{1}{6}) + (\frac{1}{6} \times \frac{1}{4} \times \frac{1}{4}) + (\frac{2}{3} \times \frac{1}{12} \times 0) - (\frac{2}{3} \times \frac{1}{6} \times \frac{1}{4}) - (\frac{1}{4} \times \frac{1}{4} \times 0) - (\frac{1}{6} \times \frac{1}{12} \times \frac{1}{6})

$$

$= \frac{1}{144} + \frac{1}{96} + 0 - \frac{1}{36} - 0 - \frac{1}{432} = \frac{3 + 4 + 0 - 12 - 0 - 1}{432} = \frac{-6}{432} = \frac{-1}{72}$

3. 最終的な答え

-1/72

## 問題 2 (7) の解答

1. 問題の内容

与えられた3x3の行列式

$$

\begin{vmatrix}

99 & 100 & 101 \\

100 & 99 & 100 \\

101 & 101 & 99

\end{vmatrix}

$$

の値を求めます。

2. 解き方の手順

1行目 - 2行目

$$

\begin{vmatrix}

-1 & 1 & 1 \\

100 & 99 & 100 \\

101 & 101 & 99

\end{vmatrix}

$$

3行目 - 2行目

$$

\begin{vmatrix}

-1 & 1 & 1 \\

100 & 99 & 100 \\

1 & 2 & -1

\end{vmatrix}

$$

100 * (1行目) + 2行目

$$

\begin{vmatrix}

-1 & 1 & 1 \\

0 & 199 & 200 \\

1 & 2 & -1

\end{vmatrix}

$$

1行目 + 3行目

$$

\begin{vmatrix}

-1 & 1 & 1 \\

0 & 199 & 200 \\

0 & 3 & 0

\end{vmatrix}

$$

余因子展開

$(-1)* (-1) \begin{vmatrix} 199 & 200 \\ 3 & 0 \end{vmatrix} = -1 * (199 * 0 - 200 *3) = - (-600) = 600$

3. 最終的な答え

600

## 問題 2 (8) の解答

1. 問題の内容

与えられた5x5の行列式

$$

\begin{vmatrix}

0 & 0 & 0 & 0 & 3 \\

0 & 2 & 0 & 0 & 5 \\

0 & 13 & -2 & 0 & -4 \\

0 & -6 & 1 & 2 & 2 \\

8 & 1 & 2 & 3 & 4

\end{vmatrix}

$$

の値を求めます。

2. 解き方の手順

5列目に沿って展開

$3 * \begin{vmatrix}

0 & 2 & 0 & 0 \\

0 & 13 & -2 & 0 \\

0 & -6 & 1 & 2 \\

8 & 1 & 2 & 3

\end{vmatrix}

$$

1列目に沿って展開

$3 * 8 * (-1)^{4+1} \begin{vmatrix}

2 & 0 & 0 \\

13 & -2 & 0 \\

-6 & 1 & 2

\end{vmatrix}

$$

$= -24 *(2 * (-2) * 2) = -24 * (-8) = 192$

3. 最終的な答え

192

## 問題 2 (9) の解答

1. 問題の内容

与えられた5x5の行列式

$$

\begin{vmatrix}

1 & -1 & -1 & 1 & -1 \\

1 & -1 & 1 & 1 & 1 \\

1 & 1 & -1 & 1 & -1 \\

-1 & 1 & 1 & 1 & 1 \\

1 & 1 & 1 & -1 & -1

\end{vmatrix}

$$

の値を求めます。

2. 解き方の手順

1行目と2行目を足し合わせる

$$

\begin{vmatrix}

2 & -2 & 0 & 2 & 0 \\

1 & -1 & 1 & 1 & 1 \\

1 & 1 & -1 & 1 & -1 \\

-1 & 1 & 1 & 1 & 1 \\

1 & 1 & 1 & -1 & -1

\end{vmatrix}

$$

1列目を基準として第2行目以降を0にする

2行目 - 1行目/2

3行目 - 1行目/2

4行目 + 1行目/2

5行目 - 1行目/2

$$

\begin{vmatrix}

2 & -2 & 0 & 2 & 0 \\

0 & 0 & 1 & 0 & 1 \\

0 & 2 & -1 & 0 & -1 \\

0 & 0 & 1 & 2 & 1 \\

0 & 2 & 1 & -2 & -1

\end{vmatrix}

$$

1列目で余因子展開。

$$

2 \begin{vmatrix}

0 & 1 & 0 & 1 \\

2 & -1 & 0 & -1 \\

0 & 1 & 2 & 1 \\

2 & 1 & -2 & -1

\end{vmatrix}

$$

1列目を基準として第2行目以降を0にする

$$

2 \begin{vmatrix}

0 & 1 & 0 & 1 \\

2 & -1 & 0 & -1 \\

0 & 1 & 2 & 1 \\

0 & 2 & -2 & 0

\end{vmatrix}

$$

余因子展開。

$$

2 (-2) \begin{vmatrix}

1 & 0 & 1 \\

1 & 2 & 1 \\

2 & -2 & 0

\end{vmatrix}

$$

$-4 * (1 * 2 * 0 + 0 * 1 * 2 + 1 * 1 * (-2) - 1 * 2 * 2 - 1 * 1 * 0 - 0 * 1 * 0) = -4 * (0 + 0 - 2 - 4 - 0 - 0) = -4 * (-6) = 24$

3. 最終的な答え

24

## 問題 2 (10) の解答

1. 問題の内容

与えられたnxnの行列式

$$

\begin{vmatrix}

0 & 0 & \cdots & 0 & 1 \\

0 & 0 & \cdots & 1 & 0 \\

\vdots & \vdots & \ddots & \vdots & \vdots \\

0 & 1 & \cdots & 0 & 0 \\

1 & 0 & \cdots & 0 & 0

\end{vmatrix}

$$

の値を求めます。

2. 解き方の手順

この行列は、反転行列です。

この行列式は、主対角線を軸にしてすべての行を反転させることで、単位行列にすることができます。

必要な行の入れ替え回数は、$n$ が偶数の場合は $n/2$ 回、奇数の場合は $(n-1)/2$ 回です。

行の入れ替え1回につき符号が反転するので、行列式の符号は $(-1)^{\text{入れ替え回数}}$ となります。

したがって、行列式の値は $(-1)^{n/2}$ (nが偶数の場合) または $(-1)^{(n-1)/2}$ (nが奇数の場合) で表されます。これをまとめて $(-1)^{\lfloor n/2 \rfloor}$ と書けます。

3. 最終的な答え

$(-1)^{\lfloor n/2 \rfloor}$

## 問題 2 (11) の解答

1. 問題の内容

与えられた5x5の行列式

$$

\begin{vmatrix}

1 & 0 & 0 & 1 & 1 \\

0 & 1 & 0 & 1 & 2 \\

0 & 0 & 1 & -1 & 0 \\

2 & 1 & 3 & 1 & 0 \\

1 & 1 & -2 & 0 & 0

\end{vmatrix}

$$

の値を求めます。

2. 解き方の手順

1列目を基準として第2行目以降を0にする

4行目 - 2*1行目

5行目 - 1行目

$$

\begin{vmatrix}

1 & 0 & 0 & 1 & 1 \\

0 & 1 & 0 & 1 & 2 \\

0 & 0 & 1 & -1 & 0 \\

0 & 1 & 3 & -1 & -2 \\

0 & 1 & -2 & -1 & -1

\end{vmatrix}

$$

1列目で余因子展開。

$1* \begin{vmatrix}

1 & 0 & 1 & 2 \\

0 & 1 & -1 & 0 \\

1 & 3 & -1 & -2 \\

1 & -2 & -1 & -1

\end{vmatrix}$

1列目を基準として第2行目以降を0にする

3行目 - 1行目

4行目 - 1行目

$ \begin{vmatrix}

1 & 0 & 1 & 2 \\

0 & 1 & -1 & 0 \\

0 & 3 & -2 & -4 \\

0 & -2 & -2 & -3

\end{vmatrix}$

$ 1 * \begin{vmatrix}

1 & -1 & 0 \\

3 & -2 & -4 \\

-2 & -2 & -3

\end{vmatrix}$

$1 * (1 * -2 * -3 + (-1) * -4 * -2 + 0 * 3 * -2 - 0 * -2 * -2 - 1 * -4 * -2 - (-1) * 3 * -3) = 6 - 8 - 0 - 0 - 8 -9 = -19$

3. 最終的な答え

-19