与えられた5つの行列式それぞれの値を計算する問題です。

1. 問題の内容

与えられた5つの行列式それぞれの値を計算する問題です。

2. 解き方の手順

(1)

3x3行列の行列式を計算します。第一列で展開すると、

$\begin{vmatrix} 0 & 0 & 4 \\ 0 & -5 & 7 \\ 3 & 2 & 1 \end{vmatrix} = 0 \cdot \begin{vmatrix} -5 & 7 \\ 2 & 1 \end{vmatrix} - 0 \cdot \begin{vmatrix} 0 & 4 \\ 2 & 1 \end{vmatrix} + 3 \cdot \begin{vmatrix} 0 & 4 \\ -5 & 7 \end{vmatrix} = 3 \cdot (0 \cdot 7 - 4 \cdot (-5)) = 3 \cdot 20 = 60$

(2)

3x3行列の行列式を計算します。

$\begin{vmatrix} 2 & 3 & 5 \\ 8 & 13 & -1 \\ 6 & -9 & 6 \end{vmatrix} = 2 \cdot \begin{vmatrix} 13 & -1 \\ -9 & 6 \end{vmatrix} - 3 \cdot \begin{vmatrix} 8 & -1 \\ 6 & 6 \end{vmatrix} + 5 \cdot \begin{vmatrix} 8 & 13 \\ 6 & -9 \end{vmatrix} = 2 \cdot (13 \cdot 6 - (-1) \cdot (-9)) - 3 \cdot (8 \cdot 6 - (-1) \cdot 6) + 5 \cdot (8 \cdot (-9) - 13 \cdot 6) = 2 \cdot (78 - 9) - 3 \cdot (48 + 6) + 5 \cdot (-72 - 78) = 2 \cdot 69 - 3 \cdot 54 + 5 \cdot (-150) = 138 - 162 - 750 = -774$

(3)

3x3行列の行列式を計算します。第一列で展開すると、

$\begin{vmatrix} 12 & 16 & 32 \\ -6 & 13 & 4 \\ 15 & 10 & -20 \end{vmatrix}$

各行を簡約化します。

$C_3 \to C_3 - 2C_2$

$\begin{vmatrix} 12 & 16 & 0 \\ -6 & 13 & -22 \\ 15 & 10 & -40 \end{vmatrix}$

第一行で展開すると、

$= 12(13*(-40) - (-22)*10) - 16((-6)*(-40)-(-22)*15) + 0((-6)*10 - 13*15)$

$= 12(-520+220) - 16(240+330)$

$= 12(-300) - 16(570)$

$= -3600 - 9120 = -12720$

(4)

4x4行列の行列式を計算します。

$\begin{vmatrix} 2 & -4 & -5 & 3 \\ -6 & 13 & 14 & 1 \\ 1 & -2 & -2 & -8 \\ 2 & -5 & 0 & 5 \end{vmatrix}$

少し計算が複雑になるので、行列式の性質を利用します。

$R_2 \to R_2 + 3R_1, R_3 \to R_3 - \frac{1}{2}R_1, R_4 \to R_4 - R_1$

$\begin{vmatrix} 2 & -4 & -5 & 3 \\ 0 & 1 & -1 & 10 \\ 0 & 0 & 1/2 & -17/2 \\ 0 & -1 & 5 & 2 \end{vmatrix}$

$R_4 \to R_4 + R_2$

$\begin{vmatrix} 2 & -4 & -5 & 3 \\ 0 & 1 & -1 & 10 \\ 0 & 0 & 1/2 & -17/2 \\ 0 & 0 & 4 & 12 \end{vmatrix}$

$R_4 \to R_4 - 8R_3$

$\begin{vmatrix} 2 & -4 & -5 & 3 \\ 0 & 1 & -1 & 10 \\ 0 & 0 & 1/2 & -17/2 \\ 0 & 0 & 0 & 80 \end{vmatrix}$

$2 * 1 * (1/2) * 80 = 80$

(5)

4x4行列の行列式を計算します。

$\begin{vmatrix} 0 & -3 & -6 & 15 \\ -2 & 5 & 14 & 4 \\ 1 & -3 & -2 & 5 \\ 15 & 10 & 10 & -5 \end{vmatrix}$

第一列で展開すると、

$0 * C_{11} - (-2) * C_{21} + 1 * C_{31} - 15 * C_{41}$

$= 2 * \begin{vmatrix} -3 & -6 & 15 \\ -3 & -2 & 5 \\ 10 & 10 & -5 \end{vmatrix} + \begin{vmatrix} -3 & -6 & 15 \\ 5 & 14 & 4 \\ 10 & 10 & -5 \end{vmatrix} - 15 * \begin{vmatrix} -3 & -6 & 15 \\ 5 & 14 & 4 \\ -3 & -2 & 5 \end{vmatrix}$

これは計算が大変です。

$C_3 \to C_3 - 5C_1$

$\begin{vmatrix} 0 & -3 & 15 \\ -2 & 5 & 24 \\ 1 & -3 & 8 \\ 15 & 10 & -80 \end{vmatrix}$

もう少し工夫が必要そうです。

3. 最終的な答え

(1) 60

(2) -774

(3) -12720

(4) 80

(5) (未計算)