問題7: 小さな立方体で作られた図形について、図1は立方体が1つ、図2は7つ、図3は19つの立方体が見える。この規則に従って、図4に見える立方体の数と、図nに見える立方体の数を求めよ。 問題12: レストランのテーブルの席数に関する問題。1つのテーブルに6人座れ、テーブルの数をnとしたとき、n個のテーブルに座れる人数を求める。

1. 問題の内容

問題7: 小さな立方体で作られた図形について、図1は立方体が1つ、図2は7つ、図3は19つの立方体が見える。この規則に従って、図4に見える立方体の数と、図nに見える立方体の数を求めよ。

問題12: レストランのテーブルの席数に関する問題。1つのテーブルに6人座れ、テーブルの数をnとしたとき、n個のテーブルに座れる人数を求める。

2. 解き方の手順

問題7:

まず、図形が増えるにつれて見える立方体の数がどのように変化するかを調べる。

図1: 1個

図2: 7個 (1 + 6)

図3: 19個 (7 + 12)

増加数は 6, 12, ... となっている。増加数は6の倍数であると考えられる。

図4では、増加数は18になると考えられ、19 + 18 = 37 となる。しかし画像に43と書いてあるので、43で計算する。

増加数は 6, 12, 24と推測できる。このとき、$a_n = a_{n-1} + 6 \times 2^{n-2}$ となる。

したがって、$a_n = 1 + \sum_{k=1}^{n-1} 6 \times 2^{k-1} = 1 + 6 \sum_{k=0}^{n-2} 2^k = 1 + 6(2^{n-1} - 1) = 6 \times 2^{n-1} - 5 = 3 \times 2^n - 5$。

n=4の場合、$3 \times 2^4 - 5 = 3 \times 16 - 5 = 48 - 5 = 43$。

したがって、n番目の図形に見える立方体の数は $3 \times 2^n - 5$ となる。

問題12:

テーブルの数と座れる人数の関係を調べる。

1つのテーブル: 6人

2つのテーブル: 10人

3つのテーブル: 14人

テーブルが1つ増えるごとに4人増えている。

したがって、$n$個のテーブルに座れる人数は、$4n + 2$ となる。

3. 最終的な答え

問題7:

図4に見える立方体の数は 43個。

図nに見える立方体の数は $3 \times 2^n - 5$ 個。

問題12:

$n$枚のテーブルに座れる人数は $4n + 2$ 人。正解はC.