与えられた線形代数学の問題集から、Ex1のすべての小問を解く。 Ex1では、ベクトル $\vec{a} = \begin{pmatrix} 2 \\ 7 \\ 6 \end{pmatrix}$, $\vec{b} = \begin{pmatrix} 9 \\ 5 \\ 1 \end{pmatrix}$, $\vec{c} = \begin{pmatrix} 4 \\ 3 \\ 8 \end{pmatrix}$ について、以下の問題を解く。 (1) $2(2\vec{a}+3\vec{b})-(3\vec{a}-\vec{c})$ を計算する。 (2) $\|\vec{a}\|$, $\|\vec{b}\|$, $\|\vec{c}\|$ を計算する。 (3) $\vec{a}$ と同じ向きの単位ベクトル $\vec{e}$ を $\vec{a}$ を用いて表す。 (4) 内積 $(\vec{a}, \vec{b})$, $(\vec{b}, \vec{c})$, $(\vec{c}, \vec{a})$ を計算する。 (5) 内積 $((\vec{b}-\vec{a}), \vec{c})$, $((\vec{a}-\vec{c}), (\vec{b}+\vec{c}))$ を計算する。

1. 問題の内容

与えられた線形代数学の問題集から、Ex1のすべての小問を解く。

Ex1では、ベクトル $\vec{a} = \begin{pmatrix} 2 \\ 7 \\ 6 \end{pmatrix}$, $\vec{b} = \begin{pmatrix} 9 \\ 5 \\ 1 \end{pmatrix}$, $\vec{c} = \begin{pmatrix} 4 \\ 3 \\ 8 \end{pmatrix}$ について、以下の問題を解く。

(1) $2(2\vec{a}+3\vec{b})-(3\vec{a}-\vec{c})$ を計算する。

(2) $\|\vec{a}\|$, $\|\vec{b}\|$, $\|\vec{c}\|$ を計算する。

(3) $\vec{a}$ と同じ向きの単位ベクトル $\vec{e}$ を $\vec{a}$ を用いて表す。

(4) 内積 $(\vec{a}, \vec{b})$, $(\vec{b}, \vec{c})$, $(\vec{c}, \vec{a})$ を計算する。

(5) 内積 $((\vec{b}-\vec{a}), \vec{c})$, $((\vec{a}-\vec{c}), (\vec{b}+\vec{c}))$ を計算する。

2. 解き方の手順

(1) ベクトルの線形結合を計算する。

$2(2\vec{a}+3\vec{b})-(3\vec{a}-\vec{c}) = 4\vec{a} + 6\vec{b} - 3\vec{a} + \vec{c} = \vec{a} + 6\vec{b} + \vec{c}$

$= \begin{pmatrix} 2 \\ 7 \\ 6 \end{pmatrix} + 6\begin{pmatrix} 9 \\ 5 \\ 1 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 4 \\ 3 \\ 8 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2+54+4 \\ 7+30+3 \\ 6+6+8 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 60 \\ 40 \\ 20 \end{pmatrix}$

(2) ベクトルのノルムを計算する。

$\|\vec{a}\| = \sqrt{2^2 + 7^2 + 6^2} = \sqrt{4 + 49 + 36} = \sqrt{89}$

$\|\vec{b}\| = \sqrt{9^2 + 5^2 + 1^2} = \sqrt{81 + 25 + 1} = \sqrt{107}$

$\|\vec{c}\| = \sqrt{4^2 + 3^2 + 8^2} = \sqrt{16 + 9 + 64} = \sqrt{89}$

(3) $\vec{a}$ と同じ向きの単位ベクトル $\vec{e}$ を計算する。

$\vec{e} = \frac{\vec{a}}{\|\vec{a}\|} = \frac{1}{\sqrt{89}}\begin{pmatrix} 2 \\ 7 \\ 6 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2/\sqrt{89} \\ 7/\sqrt{89} \\ 6/\sqrt{89} \end{pmatrix}$

(4) 内積を計算する。

$(\vec{a}, \vec{b}) = 2 \cdot 9 + 7 \cdot 5 + 6 \cdot 1 = 18 + 35 + 6 = 59$

$(\vec{b}, \vec{c}) = 9 \cdot 4 + 5 \cdot 3 + 1 \cdot 8 = 36 + 15 + 8 = 59$

$(\vec{c}, \vec{a}) = 4 \cdot 2 + 3 \cdot 7 + 8 \cdot 6 = 8 + 21 + 48 = 77$

(5) 内積を計算する。

$\vec{b} - \vec{a} = \begin{pmatrix} 9-2 \\ 5-7 \\ 1-6 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 7 \\ -2 \\ -5 \end{pmatrix}$

$((\vec{b}-\vec{a}), \vec{c}) = 7 \cdot 4 + (-2) \cdot 3 + (-5) \cdot 8 = 28 - 6 - 40 = -18$

$\vec{a} - \vec{c} = \begin{pmatrix} 2-4 \\ 7-3 \\ 6-8 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -2 \\ 4 \\ -2 \end{pmatrix}$

$\vec{b} + \vec{c} = \begin{pmatrix} 9+4 \\ 5+3 \\ 1+8 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 13 \\ 8 \\ 9 \end{pmatrix}$

$((\vec{a}-\vec{c}), (\vec{b}+\vec{c})) = (-2) \cdot 13 + 4 \cdot 8 + (-2) \cdot 9 = -26 + 32 - 18 = -12$

3. 最終的な答え

(1) $2(2\vec{a}+3\vec{b})-(3\vec{a}-\vec{c}) = \begin{pmatrix} 60 \\ 40 \\ 20 \end{pmatrix}$

(2) $\|\vec{a}\| = \sqrt{89}$, $\|\vec{b}\| = \sqrt{107}$, $\|\vec{c}\| = \sqrt{89}$

(3) $\vec{e} = \frac{1}{\sqrt{89}}\begin{pmatrix} 2 \\ 7 \\ 6 \end{pmatrix}$

(4) $(\vec{a}, \vec{b}) = 59$, $(\vec{b}, \vec{c}) = 59$, $(\vec{c}, \vec{a}) = 77$

(5) $((\vec{b}-\vec{a}), \vec{c}) = -18$, $((\vec{a}-\vec{c}), (\vec{b}+\vec{c})) = -12$