3次方程式 $x^3 - 3x^2 - 24x + a = 0$ が与えられている。以下の条件を満たすような $a$ の値または範囲を求める。 (1) 異なる3個の実数解をもつ。 (2) 異なる2個の実数解をもつ。 (3) 異なる2個の正の解と1個の負の解をもつ。

1. 問題の内容

3次方程式 $x^3 - 3x^2 - 24x + a = 0$ が与えられている。以下の条件を満たすような $a$ の値または範囲を求める。

(1) 異なる3個の実数解をもつ。

(2) 異なる2個の実数解をもつ。

(3) 異なる2個の正の解と1個の負の解をもつ。

2. 解き方の手順

まず、$f(x) = x^3 - 3x^2 - 24x + a$ とおく。

$f'(x) = 3x^2 - 6x - 24 = 3(x^2 - 2x - 8) = 3(x-4)(x+2)$

$f'(x) = 0$ となるのは $x = 4, -2$ のときである。

増減表は以下のようになる。

| x | ... | -2 | ... | 4 | ... |

| :---- | :---- | :---- | :---- | :---- | :---- |

| f'(x) | + | 0 | - | 0 | + |

| f(x) | 増加 | 極大 | 減少 | 極小 | 増加 |

極大値は $f(-2) = (-2)^3 - 3(-2)^2 - 24(-2) + a = -8 - 12 + 48 + a = 28 + a$

極小値は $f(4) = 4^3 - 3(4)^2 - 24(4) + a = 64 - 48 - 96 + a = -80 + a$

(1) 異なる3個の実数解をもつ条件は、極大値と極小値の符号が異なることである。

$(28 + a)(-80 + a) < 0$

$-28 < a < 80$

(2) 異なる2個の実数解をもつ条件は、極大値または極小値が0になることである。

$28 + a = 0$ または $-80 + a = 0$

$a = -28$ または $a = 80$

(3) $f(x) = 0$ が異なる2個の正の解と1個の負の解をもつ条件を考える。

$f(0) = a$ である。

$f(-2) = 28 + a > 0$ かつ $f(4) = -80 + a < 0$ が条件。この範囲は (1) で求めた通りである。

さらに、$f(0) = a > 0$ である必要がある。

つまり、 $-28 < a < 80$ かつ $a > 0$ となる。

よって、$0 < a < 80$

3. 最終的な答え

(1) $-28 < a < 80$

(2) $a = -28, 80$

(3) $0 < a < 80$