因数定理を用いて、3次方程式 $x^3 + 4x^2 + 2x - 1 = 0$ を解く。

1. 問題の内容

因数定理を用いて、3次方程式 $x^3 + 4x^2 + 2x - 1 = 0$ を解く。

2. 解き方の手順

因数定理とは、$P(a) = 0$ ならば、$P(x)$ は $(x-a)$ を因数に持つという定理である。

まず、$P(x) = x^3 + 4x^2 + 2x - 1$ とおく。

$P(a) = 0$ となる $a$ を探す。

$P(1) = 1 + 4 + 2 - 1 = 6 \neq 0$

$P(-1) = -1 + 4 - 2 - 1 = 0$

よって、$P(x)$ は $(x+1)$ を因数に持つ。

$P(x)$ を $(x+1)$ で割ると、

$x^3 + 4x^2 + 2x - 1 = (x+1)(x^2 + 3x - 1)$

したがって、$x^3 + 4x^2 + 2x - 1 = 0$ は、

$(x+1)(x^2 + 3x - 1) = 0$ となる。

$x+1 = 0$ より、$x = -1$

$x^2 + 3x - 1 = 0$ を解の公式を用いて解くと、

$x = \frac{-3 \pm \sqrt{3^2 - 4(1)(-1)}}{2(1)} = \frac{-3 \pm \sqrt{9 + 4}}{2} = \frac{-3 \pm \sqrt{13}}{2}$

3. 最終的な答え

$x = -1, \frac{-3 + \sqrt{13}}{2}, \frac{-3 - \sqrt{13}}{2}$