問題は、4次対称群 $S_4$ の全ての元を求め、それらを偶置換と奇置換に分類することです。

1. 問題の内容

問題は、4次対称群 $S_4$ の全ての元を求め、それらを偶置換と奇置換に分類することです。

2. 解き方の手順

$S_4$ は、集合 $\{1, 2, 3, 4\}$ の置換全体からなる群です。$S_4$ の元の個数は $4! = 24$ 個です。これらの置換を列挙し、それぞれが偶置換か奇置換かを判定します。置換が偶置換か奇置換かは、互換の積で表したときの互換の個数が偶数か奇数かで決まります。

$S_4$ の元は、以下のように分類できます。

* 恒等置換: $(1)$。これは偶置換です。

* 互換: $(1 2), (1 3), (1 4), (2 3), (2 4), (3 4)$。これらは奇置換です。6個あります。

* 長さ3の巡回置換: $(1 2 3), (1 3 2), (1 2 4), (1 4 2), (1 3 4), (1 4 3), (2 3 4), (2 4 3)$。これらは偶置換です。8個あります。

* 長さ4の巡回置換: $(1 2 3 4), (1 2 4 3), (1 3 2 4), (1 3 4 2), (1 4 2 3), (1 4 3 2)$。これらは奇置換です。6個あります。

* 互換2つの積（互いに素な互換）: $(1 2)(3 4), (1 3)(2 4), (1 4)(2 3)$。これらは偶置換です。3個あります。

偶置換は、$(1), (1 2 3), (1 3 2), (1 2 4), (1 4 2), (1 3 4), (1 4 3), (2 3 4), (2 4 3), (1 2)(3 4), (1 3)(2 4), (1 4)(2 3)$ の12個です。

奇置換は、$(1 2), (1 3), (1 4), (2 3), (2 4), (3 4), (1 2 3 4), (1 2 4 3), (1 3 2 4), (1 3 4 2), (1 4 2 3), (1 4 3 2)$ の12個です。

3. 最終的な答え

$S_4$ の元は全部で24個です。

偶置換は12個: $(1), (1 2 3), (1 3 2), (1 2 4), (1 4 2), (1 3 4), (1 4 3), (2 3 4), (2 4 3), (1 2)(3 4), (1 3)(2 4), (1 4)(2 3)$

奇置換は12個: $(1 2), (1 3), (1 4), (2 3), (2 4), (3 4), (1 2 3 4), (1 2 4 3), (1 3 2 4), (1 3 4 2), (1 4 2 3), (1 4 3 2)$