与えられた等式 $x^3 + y^3 = (x + y)^3 - 3xy(x + y)$ が成り立つことを証明する。

1. 問題の内容

与えられた等式 $x^3 + y^3 = (x + y)^3 - 3xy(x + y)$ が成り立つことを証明する。

2. 解き方の手順

与えられた等式の右辺を展開し、整理していくことで左辺と一致することを示す。

まず、$(x+y)^3$ を展開する。

$(x+y)^3 = x^3 + 3x^2y + 3xy^2 + y^3$

次に、 $-3xy(x+y)$ を展開する。

$-3xy(x+y) = -3x^2y - 3xy^2$

したがって、右辺 $(x+y)^3 - 3xy(x+y)$ は次のようになる。

$(x+y)^3 - 3xy(x+y) = (x^3 + 3x^2y + 3xy^2 + y^3) + (-3x^2y - 3xy^2)$

整理すると、

$(x+y)^3 - 3xy(x+y) = x^3 + y^3$

これは左辺と一致する。

3. 最終的な答え

$x^3 + y^3 = (x + y)^3 - 3xy(x + y)$ が成り立つ。