二つの2次不等式 $x^2 - (2a+3)x + a^2 + 3a < 0$ … ① $x^2 + 3x - 4a^2 + 6a < 0$ … ② について、以下の問いに答える。ただし、$a$ は定数で $0 < a < 4$ とする。 (1) ①、②を解け。 (2) ①、②を同時に満たす $x$ が存在するのは、$a$ がどんな範囲にあるときか。 (3) ①、②を同時に満たす整数 $x$ が存在しないのは、$a$ がどんな範囲にあるときか。

1. 問題の内容

二つの2次不等式

$x^2 - (2a+3)x + a^2 + 3a < 0$ … ①

$x^2 + 3x - 4a^2 + 6a < 0$ … ②

について、以下の問いに答える。ただし、$a$ は定数で $0 < a < 4$ とする。

(1) ①、②を解け。

(2) ①、②を同時に満たす $x$ が存在するのは、$a$ がどんな範囲にあるときか。

(3) ①、②を同時に満たす整数 $x$ が存在しないのは、$a$ がどんな範囲にあるときか。

2. 解き方の手順

(1) ①の不等式を解く。

$x^2 - (2a+3)x + a^2 + 3a < 0$ を因数分解すると、

$(x - a)(x - (a+3)) < 0$

$0 < a < 4$ より $a < a+3$ なので、不等式の解は

$a < x < a+3$ … ①'

②の不等式を解く。

$x^2 + 3x - 4a^2 + 6a < 0$ を因数分解すると、

$(x - (2a-3))(x + (2a-3+3)) < 0$

$(x - (2a-3))(x + 2a) < 0$

$0 < a < 4$ のとき、$2a > 0$ である。

$2a-3$ と $-2a$ の大小関係を考える。

$2a-3 < -2a$ とすると、$4a < 3$ より $a < \frac{3}{4}$

$2a-3 > -2a$ とすると、$a > \frac{3}{4}$

$2a-3 = -2a$ とすると、$a = \frac{3}{4}$

(i) $0 < a < \frac{3}{4}$ のとき、

$2a-3 < -2a$ より、不等式の解は

$2a - 3 < x < -2a$ … ②'

(ii) $a = \frac{3}{4}$ のとき、

$2a-3 = -2a = -\frac{3}{2}$ より、

$(x + \frac{3}{2})^2 < 0$ となるので、解なし。

(iii) $\frac{3}{4} < a < 4$ のとき、

$-2a < 2a-3$ より、不等式の解は

$-2a < x < 2a - 3$ … ②'

(2) ①'と②'を同時に満たす $x$ が存在するための $a$ の範囲を考える。

$0 < a < \frac{3}{4}$ のとき、

$2a-3 < x < -2a$ かつ $a < x < a+3$

この2つの範囲に共通部分が存在するためには、

$2a-3 < -2a$ および $a < a+3$ は常に成り立つので、

$a+3 > 2a-3$ かつ $-2a > a$ であればよい。

$2a-3 < a+3$ かつ $-2a > a$

$6 > a$ かつ $-3a > 0$ となり、$a < 6$ かつ $a < 0$ となる。

しかし、$a > 0$ の条件と矛盾するので、この範囲で共通部分は存在しない。

$\frac{3}{4} < a < 4$ のとき、

$-2a < x < 2a-3$ かつ $a < x < a+3$

この2つの範囲に共通部分が存在するためには、

$2a-3 > -2a$ かつ $a+3 > a$ は常に成り立つので、

$a+3 > -2a$ かつ $2a-3 > a$ であればよい。

$3a > -3$ かつ $a > 3$

$a > -1$ かつ $a > 3$

したがって、$3 < a < 4$

(3) ①'と②'を同時に満たす整数 $x$ が存在しないための $a$ の範囲を考える。

$0 < a < \frac{3}{4}$ のとき、範囲①'と②'に共通部分が存在しない。

$\frac{3}{4} < a < 4$ のとき、

$-2a < x < 2a-3$ かつ $a < x < a+3$

この範囲に整数が存在しないのは、$3 < a < 4$ の範囲で、

$-2a$ と $2a-3$ の間、及び $a$ と $a+3$ の間に整数が存在しない場合を考える。

3. 最終的な答え

(1)

①: $a < x < a+3$

②:

$0 < a < \frac{3}{4}$ のとき、$2a-3 < x < -2a$

$a = \frac{3}{4}$ のとき、解なし

$\frac{3}{4} < a < 4$ のとき、$-2a < x < 2a-3$

(2) $3 < a < 4$

(3) (問題文からだけでは正確な解答が導き出せない。整数解が存在しないための条件を具体的に求めるには、$a$ の値に対する区間幅と整数値との関係を詳細に吟味する必要がある。例えば、$a$ が整数値に近い場合とそうでない場合で場合分けが必要になる。)

$0 < a \leq \frac{3}{4}$