(1) 標準正規分布に従う確率変数 $Z$ について、以下の確率を標準正規分布表を用いて計算し、小数点以下第2位まで四捨五入します。 (a) $P(Z < 1.16)$ (b) $P(Z < 0.68)$ (c) $P(0.68 < Z < 1.16)$ (d) $P(-0.68 < Z < 1.16)$ (2) 標準正規分布に従う確率変数 $Z$ について、以下の確率を満たす $a$ と $b$ を標準正規分布表を用いて求めます。 (a) $P(Z > a) = 0.21770$ (b) $P(Z > b) = 0.879$ (3) (a) 大数の法則の正確な主張を述べます。 (b) 大数の法則を直感的に説明します。

1. 問題の内容

(1) 標準正規分布に従う確率変数 $Z$ について、以下の確率を標準正規分布表を用いて計算し、小数点以下第2位まで四捨五入します。

(a) $P(Z < 1.16)$

(b) $P(Z < 0.68)$

(c) $P(0.68 < Z < 1.16)$

(d) $P(-0.68 < Z < 1.16)$

(2) 標準正規分布に従う確率変数 $Z$ について、以下の確率を満たす $a$ と $b$ を標準正規分布表を用いて求めます。

(a) $P(Z > a) = 0.21770$

(b) $P(Z > b) = 0.879$

(3) (a) 大数の法則の正確な主張を述べます。

(b) 大数の法則を直感的に説明します。

2. 解き方の手順

(1) 標準正規分布表を使って確率を求めます。

(a) $P(Z < 1.16)$

標準正規分布表から、$Z = 1.16$ に対応する値を探します。

$P(Z < 1.16) = 0.8770$

(b) $P(Z < 0.68)$

標準正規分布表から、$Z = 0.68$ に対応する値を探します。

$P(Z < 0.68) = 0.7517$

(c) $P(0.68 < Z < 1.16)$

$P(0.68 < Z < 1.16) = P(Z < 1.16) - P(Z < 0.68)$

$P(0.68 < Z < 1.16) = 0.8770 - 0.7517 = 0.1253$

(d) $P(-0.68 < Z < 1.16)$

$P(-0.68 < Z < 1.16) = P(Z < 1.16) - P(Z < -0.68)$

標準正規分布の対称性より、$P(Z < -0.68) = 1 - P(Z < 0.68)$

$P(Z < -0.68) = 1 - 0.7517 = 0.2483$

$P(-0.68 < Z < 1.16) = 0.8770 - 0.2483 = 0.6287$

(2) 標準正規分布表を使って $a$ と $b$ を求めます。

(a) $P(Z > a) = 0.21770$

$P(Z > a) = 1 - P(Z < a) = 0.21770$

$P(Z < a) = 1 - 0.21770 = 0.7823$

標準正規分布表から、$P(Z < a) = 0.7823$ に対応する $a$ を探します。

$a \approx 0.78$

(b) $P(Z > b) = 0.879$

$P(Z > b) = 1 - P(Z < b) = 0.879$

$P(Z < b) = 1 - 0.879 = 0.121$

標準正規分布表から、$P(Z < b) = 0.121$ に対応する $b$ を探します。 $Z$ が負の領域を探します。$P(Z < z)=0.121$ をみたす $z$ について、$P(Z < -z') = 1 - P(Z < z') = 0.121$ より、$P(Z < z') = 0.879$.

標準正規分布表から、$P(Z < z') = 0.879$に対応する$z'$の値を探すと、$z' = 1.17$である。よって、$b = -1.17$

(3) (a) 大数の法則（弱法則）の正確な主張:

独立同分布に従う確率変数列 $X_1, X_2, ..., X_n$ があり、各確率変数の期待値が $\mu$ であれば、任意の正の数 $\epsilon$ に対して、以下の式が成り立ちます。

$\lim_{n \to \infty} P(|\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n} X_i - \mu| < \epsilon) = 1$

つまり、$n$ が大きくなるにつれて、標本平均 $\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n} X_i$ が母平均 $\mu$ に確率収束します。

(b) 大数の法則の直感的な説明:

コインを何回も投げれば投げるほど、表が出る割合は、理論上の確率である1/2に近づくということです。 たとえば、10回投げただけでは、表が7回出ることもありますが、1000回、10000回と投げる回数を増やすほど、表が出る回数は全体の半分に近づいていきます。 試行回数を増やせば、偶然による偏りが小さくなり、真の値に近づくという考え方です。

3. 最終的な答え

(1) (a) $P(Z < 1.16) = 0.88$

(b) $P(Z < 0.68) = 0.75$

(c) $P(0.68 < Z < 1.16) = 0.13$

(d) $P(-0.68 < Z < 1.16) = 0.63$

(2) (a) $a = 0.78$

(b) $b = -1.17$

(3) (a) （上記参照）

(b) （上記参照）