関数 $y = x^3 - x + 1$ のグラフと直線 $y = 2x + a$ が異なる3点で交わるように、定数 $a$ の値の範囲を求めよ。

1. 問題の内容

関数 $y = x^3 - x + 1$ のグラフと直線 $y = 2x + a$ が異なる3点で交わるように、定数 $a$ の値の範囲を求めよ。

2. 解き方の手順

2つの関数の交点の $x$ 座標は、$x^3 - x + 1 = 2x + a$ の解である。この方程式を変形すると

$x^3 - 3x + 1 - a = 0$

となる。

この3次方程式が異なる3つの実数解を持つような $a$ の範囲を求める。

$f(x) = x^3 - 3x + 1 - a$ とおくと、$f'(x) = 3x^2 - 3$ である。

$f'(x) = 0$ となる $x$ は $x = \pm 1$ 。

$f(x)$ の増減表は以下のようになる。

$x = -1$ のとき、$f(-1) = (-1)^3 - 3(-1) + 1 - a = -1 + 3 + 1 - a = 3 - a$

$x = 1$ のとき、$f(1) = 1^3 - 3(1) + 1 - a = 1 - 3 + 1 - a = -1 - a$

3次関数が異なる3つの実数解を持つためには、$f(-1)$ と $f(1)$ の符号が異なればよい。

つまり、

$(3 - a)(-1 - a) < 0$

$(a - 3)(a + 1) < 0$

$-1 < a < 3$

3. 最終的な答え

$-1 < a < 3$