$\int (\sin^2 x + \cos x) \sin x dx$ を計算する。

1. 問題の内容

$\int (\sin^2 x + \cos x) \sin x dx$ を計算する。

2. 解き方の手順

まず、積分を分配します。

$\int (\sin^2 x + \cos x) \sin x dx = \int \sin^3 x dx + \int \cos x \sin x dx$

一つ目の積分 $\int \sin^3 x dx$ を計算します。$\sin^3 x = \sin^2 x \sin x = (1 - \cos^2 x)\sin x$と変形できるので、

$\int \sin^3 x dx = \int (1 - \cos^2 x) \sin x dx$

$u = \cos x$ と置換すると, $du = -\sin x dx$ となります。したがって,

$\int (1 - \cos^2 x) \sin x dx = -\int (1 - u^2) du = -\int 1 du + \int u^2 du = -u + \frac{u^3}{3} + C_1 = -\cos x + \frac{\cos^3 x}{3} + C_1$

次に、二つ目の積分 $\int \cos x \sin x dx$ を計算します。$\int \cos x \sin x dx = \int \sin x \cos x dx$

$v = \sin x$ と置換すると, $dv = \cos x dx$ となります。したがって,

$\int \sin x \cos x dx = \int v dv = \frac{v^2}{2} + C_2 = \frac{\sin^2 x}{2} + C_2$

よって、

$\int (\sin^2 x + \cos x) \sin x dx = -\cos x + \frac{\cos^3 x}{3} + \frac{\sin^2 x}{2} + C$

ここで$\sin^2x = 1-\cos^2x$を使うと、

$\int (\sin^2 x + \cos x) \sin x dx = -\cos x + \frac{\cos^3 x}{3} + \frac{1-\cos^2 x}{2} + C = -\cos x + \frac{\cos^3 x}{3} + \frac{1}{2} - \frac{\cos^2 x}{2} + C = \frac{\cos^3 x}{3} - \frac{\cos^2 x}{2} - \cos x + C'$

ここで、$C' = C + \frac{1}{2}$とします。

3. 最終的な答え

$\frac{\cos^3 x}{3} - \frac{\cos^2 x}{2} - \cos x + C$