直線 $y = \frac{2}{3}x + 6$ とx軸、y軸で囲まれた図形の、x軸を軸とした回転体の体積を求める問題です。

1. 問題の内容

直線 $y = \frac{2}{3}x + 6$ とx軸、y軸で囲まれた図形の、x軸を軸とした回転体の体積を求める問題です。

2. 解き方の手順

(1) 直線 $y = \frac{2}{3}x + 6$ とx軸との交点を求めます。

$y=0$ を代入して、

$0 = \frac{2}{3}x + 6$

$\frac{2}{3}x = -6$

$x = -9$

よって、x軸との交点は $(-9, 0)$ です。

(2) 直線 $y = \frac{2}{3}x + 6$ とy軸との交点を求めます。

$x=0$ を代入して、

$y = \frac{2}{3}(0) + 6 = 6$

よって、y軸との交点は $(0, 6)$ です。

(3) 回転体の体積を求めます。

回転体は円錐になります。

円錐の半径は $6$ 、高さは $0 - (-9) = 9$ です。

円錐の体積の公式は $V = \frac{1}{3} \pi r^2 h$ です。

ここに $r = 6$ 、 $h = 9$ を代入すると、

$V = \frac{1}{3} \pi (6^2) (9) = \frac{1}{3} \pi (36) (9) = \pi (12) (9) = 108 \pi$

3. 最終的な答え

$108 \pi$