以下の連立微分方程式の一般解を求めます。 $\begin{cases} \frac{dx}{dt} = y + \cos 2t \\ \frac{dy}{dt} = x - \sin 2t \end{cases}$

1. 問題の内容

以下の連立微分方程式の一般解を求めます。

$\begin{cases}

\frac{dx}{dt} = y + \cos 2t \\

\frac{dy}{dt} = x - \sin 2t

\end{cases}$

2. 解き方の手順

まず、第一式と第二式をそれぞれ $t$ で微分します。

$\frac{d^2x}{dt^2} = \frac{dy}{dt} - 2\sin 2t$

$\frac{d^2y}{dt^2} = \frac{dx}{dt} - 2\cos 2t$

第一式の微分した式に $\frac{dy}{dt} = x - \sin 2t$ を代入します。

$\frac{d^2x}{dt^2} = x - \sin 2t - 2\sin 2t$

$\frac{d^2x}{dt^2} = x - 3\sin 2t$

$\frac{d^2x}{dt^2} - x = -3\sin 2t$

次に、第二式の微分した式に $\frac{dx}{dt} = y + \cos 2t$ を代入します。

$\frac{d^2y}{dt^2} = y + \cos 2t - 2\cos 2t$

$\frac{d^2y}{dt^2} = y - \cos 2t$

$\frac{d^2y}{dt^2} - y = -\cos 2t$

まず、$x$ の微分方程式を解きます。同次方程式 $\frac{d^2x}{dt^2} - x = 0$ の一般解は $x_h = c_1 e^t + c_2 e^{-t}$ です。

次に、非同次方程式 $\frac{d^2x}{dt^2} - x = -3\sin 2t$ の特殊解を求めます。特殊解を $x_p = A\sin 2t + B\cos 2t$ と仮定します。

$\frac{dx_p}{dt} = 2A\cos 2t - 2B\sin 2t$

$\frac{d^2x_p}{dt^2} = -4A\sin 2t - 4B\cos 2t$

$\frac{d^2x_p}{dt^2} - x_p = -5A\sin 2t - 5B\cos 2t = -3\sin 2t$

したがって、$-5A = -3$, $-5B = 0$ となり、$A = \frac{3}{5}$, $B = 0$ です。

したがって、$x_p = \frac{3}{5} \sin 2t$ です。

$x$ の一般解は $x = x_h + x_p = c_1 e^t + c_2 e^{-t} + \frac{3}{5} \sin 2t$

次に、$y$ の微分方程式を解きます。同次方程式 $\frac{d^2y}{dt^2} - y = 0$ の一般解は $y_h = d_1 e^t + d_2 e^{-t}$ です。

次に、非同次方程式 $\frac{d^2y}{dt^2} - y = -\cos 2t$ の特殊解を求めます。特殊解を $y_p = C\sin 2t + D\cos 2t$ と仮定します。

$\frac{dy_p}{dt} = 2C\cos 2t - 2D\sin 2t$

$\frac{d^2y_p}{dt^2} = -4C\sin 2t - 4D\cos 2t$

$\frac{d^2y_p}{dt^2} - y_p = -5C\sin 2t - 5D\cos 2t = -\cos 2t$

したがって、$-5C = 0$, $-5D = -1$ となり、$C = 0$, $D = \frac{1}{5}$ です。

したがって、$y_p = \frac{1}{5} \cos 2t$ です。

$y$ の一般解は $y = y_h + y_p = d_1 e^t + d_2 e^{-t} + \frac{1}{5} \cos 2t$

ここで、$\frac{dx}{dt} = y + \cos 2t$ より、$c_1 e^t - c_2 e^{-t} + \frac{6}{5} \cos 2t = d_1 e^t + d_2 e^{-t} + \frac{1}{5} \cos 2t + \cos 2t$

$c_1 e^t - c_2 e^{-t} + \frac{6}{5} \cos 2t = d_1 e^t + d_2 e^{-t} + \frac{6}{5} \cos 2t$

したがって、$c_1 = d_1$, $c_2 = -d_2$ が成り立ちます。

したがって、$y = c_1 e^t - c_2 e^{-t} + \frac{1}{5} \cos 2t$

3. 最終的な答え

$\begin{cases}

x = c_1 e^t + c_2 e^{-t} + \frac{3}{5} \sin 2t \\

y = c_1 e^t - c_2 e^{-t} + \frac{1}{5} \cos 2t

\end{cases}$

ここで、$c_1$ と $c_2$ は任意定数です。