(1) 三角関数の加法定理を証明する。 $\sin(a+b) = \sin a \cos b + \cos a \sin b$ $\cos(a+b) = \cos a \cos b - \sin a \sin b$ (2) 加法定理を用いて、以下の式を計算する。 $\sin(x + \frac{\pi}{2}) - \cos x$ $\cos(x + \frac{\pi}{2}) + \sin x$

1. 問題の内容

(1) 三角関数の加法定理を証明する。

$\sin(a+b) = \sin a \cos b + \cos a \sin b$

$\cos(a+b) = \cos a \cos b - \sin a \sin b$

(2) 加法定理を用いて、以下の式を計算する。

$\sin(x + \frac{\pi}{2}) - \cos x$

$\cos(x + \frac{\pi}{2}) + \sin x$

2. 解き方の手順

(1) 加法定理の証明は省略します。

(2) 加法定理を用いて計算します。

まず、$\sin(x + \frac{\pi}{2}) - \cos x$ を計算します。

$\sin(x + \frac{\pi}{2}) = \sin x \cos \frac{\pi}{2} + \cos x \sin \frac{\pi}{2}$

$\cos \frac{\pi}{2} = 0$ なので、$\sin x \cos \frac{\pi}{2} = 0$

$\sin \frac{\pi}{2} = 1$ なので、$\cos x \sin \frac{\pi}{2} = \cos x$

したがって、$\sin(x + \frac{\pi}{2}) = \cos x$

よって、$\sin(x + \frac{\pi}{2}) - \cos x = \cos x - \cos x = 0$

次に、$\cos(x + \frac{\pi}{2}) + \sin x$ を計算します。

$\cos(x + \frac{\pi}{2}) = \cos x \cos \frac{\pi}{2} - \sin x \sin \frac{\pi}{2}$

$\cos \frac{\pi}{2} = 0$ なので、$\cos x \cos \frac{\pi}{2} = 0$

$\sin \frac{\pi}{2} = 1$ なので、$\sin x \sin \frac{\pi}{2} = \sin x$

したがって、$\cos(x + \frac{\pi}{2}) = -\sin x$

よって、$\cos(x + \frac{\pi}{2}) + \sin x = -\sin x + \sin x = 0$

3. 最終的な答え

(1) 加法定理の証明は省略。

(2)

$\sin(x + \frac{\pi}{2}) - \cos x = 0$

$\cos(x + \frac{\pi}{2}) + \sin x = 0$