ある企業で2台の機械A,Bを使って製品を製造している。機械Aで作られた製品である確率変数をXとし、Aであれば0、Bであれば1とする。また、不良品である確率変数をYとし、不良品であれば1、良品であれば0とする。全製品のうち機械Aが30%、機械Bが70%を製造している。機械Aでは10%の確率で不良品が製造され、機械Bでは2%の確率で不良品が製造される。ランダムに1つ検品したところ不良品であったとき、その製品が機械Aで作られたものである確率 $P(X=0 | Y=1)$ を求める。

1. 問題の内容

ある企業で2台の機械A,Bを使って製品を製造している。機械Aで作られた製品である確率変数をXとし、Aであれば0、Bであれば1とする。また、不良品である確率変数をYとし、不良品であれば1、良品であれば0とする。全製品のうち機械Aが30%、機械Bが70%を製造している。機械Aでは10%の確率で不良品が製造され、機械Bでは2%の確率で不良品が製造される。ランダムに1つ検品したところ不良品であったとき、その製品が機械Aで作られたものである確率 $P(X=0 | Y=1)$ を求める。

2. 解き方の手順

ベイズの定理を用いる。

$P(X=0 | Y=1) = \frac{P(Y=1 | X=0) P(X=0)}{P(Y=1)}$

ここで、

$P(X=0)$ は機械Aが製品を製造する確率なので、$P(X=0) = 0.3$

$P(X=1)$ は機械Bが製品を製造する確率なので、$P(X=1) = 0.7$

$P(Y=1 | X=0)$ は機械Aが不良品を製造する確率なので、$P(Y=1 | X=0) = 0.1$

$P(Y=1 | X=1)$ は機械Bが不良品を製造する確率なので、$P(Y=1 | X=1) = 0.02$

$P(Y=1)$ は全体の不良品率なので、次のように計算できる。

$P(Y=1) = P(Y=1 | X=0) P(X=0) + P(Y=1 | X=1) P(X=1)$

$P(Y=1) = (0.1)(0.3) + (0.02)(0.7) = 0.03 + 0.014 = 0.044$

したがって、

$P(X=0 | Y=1) = \frac{(0.1)(0.3)}{0.044} = \frac{0.03}{0.044} = \frac{30}{44} = \frac{15}{22}$

3. 最終的な答え

15/22