確率変数 $X$ が正規分布 $N(9, 5^2)$ に従うとき、以下の2つの問いに答えます。 (1) $Pr\{3 \le X \le 8\}$ を求めます。 (2) $Pr\{X \le (ア)\} = 0.05$ となるような $(ア)$ を求めます。

1. 問題の内容

確率変数 $X$ が正規分布 $N(9, 5^2)$ に従うとき、以下の2つの問いに答えます。

(1) $Pr\{3 \le X \le 8\}$ を求めます。

(2) $Pr\{X \le (ア)\} = 0.05$ となるような $(ア)$ を求めます。

2. 解き方の手順

(1) $Pr\{3 \le X \le 8\}$ を計算するためには、まず $X$ を標準化します。標準化した確率変数を $Z = \frac{X - \mu}{\sigma}$ とします。ここで、$\mu = 9$ は平均、$\sigma = 5$ は標準偏差です。

$Z_1 = \frac{3 - 9}{5} = -\frac{6}{5} = -1.2$

$Z_2 = \frac{8 - 9}{5} = -\frac{1}{5} = -0.2$

$Pr\{3 \le X \le 8\} = Pr\{-1.2 \le Z \le -0.2\} = Pr\{Z \le -0.2\} - Pr\{Z \le -1.2\}$

標準正規分布表またはExcel等のソフトウェアを用いて、$Pr\{Z \le -0.2\}$ と $Pr\{Z \le -1.2\}$ の値を求めます。

Excelの場合、NORM.S.DIST関数を使います。

$Pr\{Z \le -0.2\} = \text{NORM.S.DIST}(-0.2, \text{TRUE}) \approx 0.4207$

$Pr\{Z \le -1.2\} = \text{NORM.S.DIST}(-1.2, \text{TRUE}) \approx 0.1151$

したがって、$Pr\{3 \le X \le 8\} = 0.4207 - 0.1151 = 0.3056$

小数第4位で四捨五入して、小数第3位まで求めると $0.306$ です。

(2) $Pr\{X \le (ア)\} = 0.05$ となる $(ア)$ を求めます。

まず、$X$ を標準化します。$Z = \frac{X - 9}{5}$ とします。

$Pr\{X \le (ア)\} = Pr\{Z \le \frac{(ア) - 9}{5}\} = 0.05$

標準正規分布表またはExcel等のソフトウェアを用いて、$Pr\{Z \le z\} = 0.05$ となる $z$ を求めます。

Excelの場合、NORM.S.INV関数を使います。

$z = \text{NORM.S.INV}(0.05) \approx -1.64485$

したがって、$\frac{(ア) - 9}{5} = -1.64485$ となります。

$(ア) - 9 = -1.64485 \times 5 = -8.22425$

$(ア) = 9 - 8.22425 = 0.77575$

小数第4位で四捨五入して、小数第3位まで求めると $0.776$ です。

3. 最終的な答え

(1) $0.306$

(2) $0.776$