確率変数 $X$ の確率密度関数が次のように与えられています。 $f_X(x) = \begin{cases} \frac{1}{4}, & 0 \le x < 4 \\ 0, & \text{otherwise} \end{cases}$ この確率変数の期待値 $E[X]$ と分散 $V[X]$ を求めなさい。

1. 問題の内容

確率変数 $X$ の確率密度関数が次のように与えられています。

$f_X(x) = \begin{cases} \frac{1}{4}, & 0 \le x < 4 \\ 0, & \text{otherwise} \end{cases}$

この確率変数の期待値 $E[X]$ と分散 $V[X]$ を求めなさい。

2. 解き方の手順

まず、期待値 $E[X]$ を求めます。期待値は確率密度関数を使って次のように計算できます。

$E[X] = \int_{-\infty}^{\infty} x f_X(x) dx$

この場合、$f_X(x)$ は $0 \le x < 4$ で $\frac{1}{4}$ であり、それ以外では $0$ なので、積分範囲は $0$ から $4$ になります。

$E[X] = \int_{0}^{4} x \cdot \frac{1}{4} dx = \frac{1}{4} \int_{0}^{4} x dx$

$\int_{0}^{4} x dx = \left[\frac{x^2}{2}\right]_0^4 = \frac{4^2}{2} - \frac{0^2}{2} = \frac{16}{2} = 8$

したがって、$E[X] = \frac{1}{4} \cdot 8 = 2$

次に、分散 $V[X]$ を求めます。分散は次のように計算できます。

$V[X] = E[X^2] - (E[X])^2$

まず、$E[X^2]$ を計算します。

$E[X^2] = \int_{-\infty}^{\infty} x^2 f_X(x) dx$

この場合、$f_X(x)$ は $0 \le x < 4$ で $\frac{1}{4}$ であり、それ以外では $0$ なので、積分範囲は $0$ から $4$ になります。

$E[X^2] = \int_{0}^{4} x^2 \cdot \frac{1}{4} dx = \frac{1}{4} \int_{0}^{4} x^2 dx$

$\int_{0}^{4} x^2 dx = \left[\frac{x^3}{3}\right]_0^4 = \frac{4^3}{3} - \frac{0^3}{3} = \frac{64}{3}$

したがって、$E[X^2] = \frac{1}{4} \cdot \frac{64}{3} = \frac{16}{3}$

次に、$(E[X])^2$ を計算します。

$(E[X])^2 = 2^2 = 4$

最後に、分散 $V[X]$ を計算します。

$V[X] = E[X^2] - (E[X])^2 = \frac{16}{3} - 4 = \frac{16}{3} - \frac{12}{3} = \frac{4}{3}$

3. 最終的な答え

期待値: $E[X] = 2$

分散: $V[X] = \frac{4}{3}$