10枚のコインを同時に投げるゲームにおいて、表が出れば1点、裏が出れば-1点を得る。表が出る確率は$\frac{1}{3}$、裏が出る確率は$\frac{2}{3}$である。このとき、得られる点数の和を表す確率変数$X$の期待値$E[X]$を求めよ。

1. 問題の内容

10枚のコインを同時に投げるゲームにおいて、表が出れば1点、裏が出れば-1点を得る。表が出る確率は$\frac{1}{3}$、裏が出る確率は$\frac{2}{3}$である。このとき、得られる点数の和を表す確率変数$X$の期待値$E[X]$を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、1枚のコインを投げたときに得られる点数の期待値を考える。表が出た場合は1点、裏が出た場合は-1点なので、1枚のコインを投げたときの得点の期待値$E_1$は、

$E_1 = 1 \times \frac{1}{3} + (-1) \times \frac{2}{3} = \frac{1}{3} - \frac{2}{3} = -\frac{1}{3}$

となる。

次に、10枚のコインを同時に投げたときに得られる点数の和の期待値を考える。期待値の線形性より、10枚のコインを投げたときの得点の期待値$E[X]$は、1枚のコインを投げたときの得点の期待値$E_1$の10倍になる。

$E[X] = 10 \times E_1 = 10 \times \left(-\frac{1}{3}\right) = -\frac{10}{3}$

3. 最終的な答え

$-\frac{10}{3}$