1から6の目が等しい確率で出るサイコロを投げ、出た目×50円が賞金としてもらえる。ただし、1回サイコロを投げるのに150円の参加費が必要である。このゲームで得られるお金（賞金-参加費）を確率変数$X$で表すとき、$X$の分散$V[X]$を求めよ。また、参加費が200円に変わった場合の確率変数$Y$に対して、$Y$の期待値と分散が$X$の期待値と分散と比較してどうなるかを答えよ。

1. 問題の内容

1から6の目が等しい確率で出るサイコロを投げ、出た目×50円が賞金としてもらえる。ただし、1回サイコロを投げるのに150円の参加費が必要である。このゲームで得られるお金（賞金-参加費）を確率変数$X$で表すとき、$X$の分散$V[X]$を求めよ。また、参加費が200円に変わった場合の確率変数$Y$に対して、$Y$の期待値と分散が$X$の期待値と分散と比較してどうなるかを答えよ。

2. 解き方の手順

問1：確率変数 $X$ の分散 $V[X]$ を求める

* 確率変数 $X$ の取りうる値と確率を計算する。

サイコロの出目が1から6の場合、賞金はそれぞれ50円、100円、150円、200円、250円、300円となる。参加費が150円なので、得られるお金 $X$ はそれぞれ -100円、-50円、0円、50円、100円、150円となる。各目の出る確率は等しく1/6である。

* 確率変数 $X$ の期待値 $E[X]$ を計算する。

$E[X] = (-100 + (-50) + 0 + 50 + 100 + 150) / 6 = 150/6 = 25$

* 確率変数 $X^2$ の期待値 $E[X^2]$ を計算する。

$E[X^2] = ((-100)^2 + (-50)^2 + 0^2 + 50^2 + 100^2 + 150^2) / 6 = (10000 + 2500 + 0 + 2500 + 10000 + 22500) / 6 = 47500/6$

* 確率変数 $X$ の分散 $V[X]$ を計算する。

$V[X] = E[X^2] - (E[X])^2 = 47500/6 - (25)^2 = 47500/6 - 625 = 47500/6 - 3750/6 = 43750/6 = 21875/3$

問2：確率変数 $Y$ の期待値と分散を $X$ の期待値と分散と比較する

* 確率変数 $Y$ は参加費が200円に変わった場合の得られるお金を表す。サイコロの出目が1から6の場合、賞金はそれぞれ50円、100円、150円、200円、250円、300円となる。参加費が200円なので、得られるお金 $Y$ はそれぞれ -150円、-100円、-50円、0円、50円、100円となる。

* $Y = X - 50$ となるため、$E[Y] = E[X] - 50 = 25 - 50 = -25$ であり、$V[Y] = V[X]$ となる。

したがって、$Y$ の期待値は $X$ の期待値よりも小さく、$Y$ の分散は $X$ の分散と等しい。

3. 最終的な答え

問1: 21875/3

問2: Yの期待値は、Xの期待値よりも小さく、分散はXの分散と等しい。