円に内接する四角形ABCDにおいて、対角線の交点をPとする。PA=3, PB=x, PC=4, PD=8-xのとき、xの値を求める。

1. 問題の内容

円に内接する四角形ABCDにおいて、対角線の交点をPとする。PA=3, PB=x, PC=4, PD=8-xのとき、xの値を求める。

2. 解き方の手順

円に内接する四角形の対角線の性質より、

$PA \cdot PC = PB \cdot PD$

が成り立つ。与えられた値を代入すると、

$3 \cdot 4 = x \cdot (8 - x)$

$12 = 8x - x^2$

$x^2 - 8x + 12 = 0$

この二次方程式を解く。因数分解すると、

$(x - 2)(x - 6) = 0$

したがって、$x = 2$ または $x = 6$ となる。

ここで、$PD = 8 - x$であるから、$x < 8$を満たす必要がある。

どちらの解もこの条件を満たす。

3. 最終的な答え

x = 2, 6